KdV equation
简介
1894年Korteweg和de Vries建立了KdV方程
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描述流体力学中浅水波的运动，解释了水面上能够出现孤波的现象.1960年以后KdV方程被应用到相当广泛的物理领域中. 例如，等离子体的离子声波和磁流体波，弹性力学的纵向弥散波，非线性晶体的低温热激发声子，以及统计力学中著名的Fermi-Pasta-Ualm问题的研究，均可归结为不同初值问题的KdV方程.由于其普适性和重要性，KdV方程已成为解决数学物理问题的基本方程之一.
研究KdV方程解的行为导致了反散射方法的创立.KdV方程成了第 一个运用反散射方法精确求解的非线性发展方程.
KdV方程(1)的Lax表象是L=[L，A]
在此表象中，Schrodinger算子L的本征值与时间无关，在无反射势和迅速衰减情形下利用反散射方法可以求得(1)的N孤子解，它们对应着算子L的离散本征值.在周期性初值条件下，KdV方程的解表现为准周期动力学形式.KdV方程此情形下的求解较之迅速衰减的情形远为复杂，它要求发展具有周期势的Schrodinger方程理论.这时，KdV解由若干个和孤子解相类似的周期和准周期函数构成，亦即以有限带势为背景的孤子和用椭圆函数表示的有限带势.