J-integral
简介
在分析二维裂纹试样裂纹尖端地区应力形变场强时，Rice提出一具有守恒性质的线积分，即J-积分，其定义为
式中W=
在弹性体中为应变能密度，在弹塑性条件下为单调加载过程中试样各处体元所接受的应力形变功密度.它包括弹性应变能和塑性形变功.σij为应力分量，εij为全应变分量，Ti(i=1 ，2)是作用在回路Γ的弧线元ds对应面元dsdx3上应力矢量
的分量，ui为该处位移量u的分量.Γ是由裂纹自由表面任一点开始，逆时针方向，即沿弧长s的正方向环绕裂纹尖端地区，最后终止于裂纹另一边自由表面上任一点的任意积分回路.
J-积分的定义及其守恒性
所谓守恒性质即当裂纹尖端应变的二次项可忽略不计时(小范围屈服)，围绕它的线积分值是一个与积分回路无关的常数，此常数的值反映了裂纹尖端应力形变场的强度.参看上图可得关系式
若闭合回路C中不存在裂纹或孔洞，上式可写成更一般的形式
其中闭合回路C即APBFREA.
当裂纹尖端应变较大时(大范围屈服)，即通称弹塑性断裂情况下，J-积分的守恒性质虽不能满足，但Rice与Rosengren以及Hutchinson在用全量理论的基础上能证明J-积分仍不失为决定裂纹尖端地区应力形变场奇异性的强度参量.因此J-积分可以作断裂判据的有效参量，只要裂纹尖端地区的应力形变场达到使裂纹开始扩展的临界强度时，J-积分也达到相应的临界值JIC，而与试样几何尺寸和加载方式无关，此即H.R.R.理论.
J-积分还有一个能量率的表达式，即J=
，其中U是单位厚试样的势能，a为裂纹长.此式成立的条件也是小应变同单调加载.它是实验测量J-积分的基础，J-积分的单位为kg/mm.
在线弹性条件下，J-积分与裂纹扩展力G是等价的.它使我们联想到早在1956年Eshelby就提出过用能量-动量张量的流量积分求作用到应力应变奇点(位错，点缺陷等)的广义力，显然这个积分较J-积分具有更明确的物理意义.