Riemann-Stieltjes integral
简介
也称斯蒂尔杰斯积分，是黎曼积分的一种推广。通常利用黎曼积分可以计算几何形体的面积、体积，物理和力学中的功、能，物体的重心及转动惯量以及更一般的矩等等。如果考虑[a，b]上分布的一些质量对[a，b]外某点c的矩，一般可以用黎曼积分来计算。但是，当质量的分布没有密度函数时，黎曼积分就失效了。因此，数学家开始考虑更广泛的积分概念。
1894年，荷兰数学家斯蒂尔杰斯在论文《连分式研究》中引进了一种新的积分，这是对黎曼积分的第一次推广。斯蒂尔杰斯把质量沿着一根直线的分布看成是点密度概念的推广，他把这种质量分布用一个递归函数Ф(x)表示，Ф(x)表示在区间[0，x](x>0)上的总质量。然后他写出黎曼和
其中a=x0<x1<x2<…<xn-1<xn＝b是[a，b]的一个分划，ξi∈[xi，xi+1]。斯蒂尔杰斯证明，当f在[a，b] 上连续，分划的最大子区间趋于零时，这个和趋于一个极限，他把这个极限记作
这种积分后来就叫做斯蒂尔杰斯积分。当(x)=x+c(c为常数)时，这个积分就是f(x)的黎曼积分。
20世纪以后，斯蒂尔杰斯积分获得了广泛的应用。随着黎曼积分发展为勒贝格积分，斯蒂尔杰斯积分也发展成为勒贝格—斯蒂尔杰斯积分。