determinant
简介
重要的数学工具和概念之一。它来源于解线性方程组。
在17世纪末,莱布尼茨研究线性方程组的解法时,开始使用指标数的系统集合来表示方程组的系数,并得到现在被称为结式的一个行列式。大约在1729年,马克劳林开始用行列式的方法解含2~4个未知量的线性方程组,还使用了所谓的克莱姆法则,克莱姆在1750年把这个法则发表出来。贝祖研究齐次方程组,证明了系数行列式等于零是方程组有非零解的条件(1764)。这些关于行列式的早期工作(还可以举出一些)大都是为了研究方程组而利用行列式,以求得紧凑简单的表达式。
对行列式理论作专门研究(不单纯作为工具)的第一个人是旺德蒙德。1772年,他建立了用二阶子式和它们的余子式展开行列式的法则。一般认为旺德蒙德是行列式理论的奠基人。在同一年,拉普拉斯就推广了旺德蒙德的结果,用r阶子式及其余子式来展开行列式。
行列式这个名词最早出现在18世纪初柯西的著作之中,他还首先采用双重足标的记法把元素排成方阵。用两条竖线画在一个方阵的左右两侧来表示行列式是凯莱在1841年引进的。
柯西对行列式理论进行了系统研究,他建立了行列式的乘法定理,并得到行列式的一些性质(1815)。之后,西尔维斯特和凯莱共同发展了行列式理论。雅可比研究了函数行列式,建立了它的导数公式,函数行列式被应用于多重积分的变量替换之中。
在整个19世纪,不断地得到行列式的新结果,除行列式的一般理论以外,还建立了大量的有关特殊形式行列式的一些定理。行列式理论被越来越多地应用于许多方面,除了解线性方程组和多重积分的变量替换外,行列式还被应用于坐标变换,解行星运动的微分方程组,将二次型化成标准型,等等。
行列式概念的出现虽然没有深刻地影响数学的发展,但大量的事实已经证明,行列式已成为现代数学中十分有用的工具。