method of infinite descent
简介
这是一种与数学归纳法相对应的数学方法，它的原理一般被称为无穷递降原理，现代的表述为：若要证明关于自然数的命题N(n)不成立，需要证明：1°N (1)不成立;2°如果N(k)成立，则有k'<k，使N(k’)成立。如果1°、2°均得证，则N(n)对所有的自然数n均不成立。
这一方法是法国数学家费马提出来的。他在1659年写信给他的一位朋友P.卡尔卡维，告诉他自己创造了一种新的数学方法。费马用这种方法证明了这样一个定理：边长为整数的直角三角形的面积不是一个平方数。或者说，不定方程
没有正整数解。费马是这样证明的：方程
的一般解是
其中p、q为整数，由此可知x或y一定是偶数，即
是整数，进而，由(3)可知
假设对所有的满足(2)式的x、y、z都同时满足(1)式，那么对上述p、q来说，式pq(p2-q2)是一个完全平方数。由于(1)式对所有的满足x2+y2＝z2的x、y、z都成立，所以可以找出更小的P、Q来，使得PQ(P2-Q2)也是平方数，这个步骤可以任意进行下去，于是可得出一个正整数列
由于p、q都是有限数，其最小值为P°=2，Q°=1，不可能P°=Q°=1，因为此时
而当
时，有
满足
此时
不是平方数，与假设矛盾，所以原不定方程无正整数解，
不是平方数，定理得证。
由这个定理立即可以得出
无正整数解，这是n=4时的费马大定理。推导很简单：设x、y、z是(5)的一组正整数解，令
可得出a、b、c、d满足不定方程组
与前证定理矛盾，所以x4+y4＝z4无正整数解。这一证明使得费马大定理的证明进入只考虑素数的情况，所以很重要。由于费马证明的定理解决了关键的一步，所以，有时人们认为费马证明了n=4时的费马大定理。但据研究，费马并没有明确地作出上述推导，所以本书认为，费马接近作出n=4时的费马大定理的证明。
费马的信并没有发表，人们一直无从了解他的这一方法。直到1879年，人们在荷兰莱顿大学图书馆惠更斯的手稿中发现了一篇论文，其中介绍了由费马创建并应用的无穷递降法，这一方法才为人们所知。人们随之对它进行了更深入的研究，发现在证明关于自然数集合的否定性质的命题时，这一方法是很有效的，似乎是数学归纳法的否定形式。后来，人们发现，无穷递降原理、数学归纳法原理和最小数原理三者是等价的，它们可由某一个作为公理推出另两个来。
现代数学中，由无穷递降法发展出“高度理论”(法国数学家韦伊，1926)。高度是代数几何学中的一个重要概念。一般地，高度是对有理点的复杂性的量度。定义有理数的高度，设
为既约分数，则其高度为
高度具有有限性、可积性的特点。由有理数的高度可定义椭圆曲线
上的有理点p=(x，y)的高度
定义对数的高度为 
进一步可定义射影平面P2(Q)上一点α的高度，还可再进一步把高度引入高斯射影空间及代数簇之中，成为代数几何学的有力工具。