theory of number
简介
研究数的规律，特别是 研究整数规律的科学。数学的分支学科。数论以可除 性、同余性、不定方程的求解和数的有理逼近等算术 问题为研究对象，是两个最古老的数学分支之一 (另 一个是经典的欧氏几何)。
正整数分成1、素数和复合数。公元前3世纪， 古希腊数学家欧几里德 (Euclid，约公元前330～前 275) 证明了素数个数无限，并给出求两个正整数最 大公约数的算法。丢番图 (Diophantus) 于3世纪 就大量地研究过不定方程带限制的解 (如整数解)， 因此这类不定方程通常称为丢番图方程。成书于中国 南北朝时期 (5～6世纪) 的《孙子算经》中已给出 了一次同余式组的解法，后来总结成数论中著名的孙 子定理 (又称中国剩余定理)。从17世纪到19世 纪，费马 (P.de Fermat，1601～1665)、欧拉 (L.Euler，1707～1783) 、勒让德 (A.-M.Legendre， 1752～1833) 和高斯 (C.F.Gauss，1777～1855) 等 人致力于数论的研究，他们的工作大大发展和丰富了 数论的内容。特别是1801年高斯在他的《算术探 讨》一书中给出了著名的二次互反律和原根存在的充 要条件等。这一时期的一些工作和提出的问题，对数 论的发展起了重要作用。例如欧拉重新证明素数小数 无限使用了公式
因此欧拉被公认为解析数论的创始人; 费马提出的大 定理，即当n≥3时，不定方程xn+yn＝zn无正整数 解，虽然直到今天也没有证明，但它刺激了代数数论 的发展。近代数学家中，有些数学家通过对一些著名 问题的研究创立了重要的方法，例如库默尔 (E.E.Kummer，1810～1893) 为研究费马大定理创 立了理想数论，哈迪 (G.H.Hardy，1877～1947) 与 利特尔伍德 (J.H.Littlewood，1885～1977) 为研究 哥德巴赫 (C.Goldbach) 猜想创立了解析数论中重 要的圆法; 有些数学家则在一些数论分支中做出了卓 越的贡献，例如1955年，罗思 (K.F.Roth) 证明 了： 设θ是一个n≥2次的代数数，则对任意的 ε>0，适合
的整数x，y>0仅有有限 组。这是丢番图逼近中的重要成就，并可应用于证明 一些丢番图方程解的个数有限。1966年前后，贝克 (A.Baker，1939～) 在超越数论上作出了重要贡 献，同时创立了解一类丢番图方程的“有效方法”。 1973年，德利涅 (P.Deligne，1944～) 证明了有限 域上丢番图方程的韦伊 (A.Weil，1906～) 猜想， 对代数几何及数论本身都有重要影响。1986年，法 尔廷斯 (G.Faltings，1954～) 用代数几何的一些重 要结果证明了著名的莫德尔 (L.J.Mordell，1888～ 1972) 猜想，即亏格≥2的不可约平面曲线f (x， y) =0上只有有限个有理点。由此导出，当n≥4时 方程xn+yn＝zn仅有有限组两两互素的解，这是对费 马大定理的重大突破。
数论发展至今已产生了多个数论分支，主要有： ①初等数论;②丢番图方程;③丢番图逼近;④解析数 论;⑤代数数论，等等。这些领域的一些突破性工作 都是源于一些著名的问题，例如大数分解、费马大定 理、数的超越性判定、哥德巴赫猜想和代数数域的类 数问题等。近代数论的研究不仅在理论上有了若干突 破性的进展，而且在应用领域也产生了许多重要成 果。此外，由于一些应用学科的需要，还提出了不少 数论理论问题，进一步刺激了数论的发展。