paradox
简介
如果某一理论的公理和推理原则看上去是合理的，但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题，或者证明了这样一个复合命题，它表现为两个互相矛盾的命题的等价式，那么，就说这个理论包含了一个悖论。所谓互相矛盾的命题，指的是推出了一个命题和它的否定。所谓矛盾命题的等价式，指的是如果承认一个命题，就可推出它的否定;反之，如果承认这个命题的否定，就可推出这个命题。
公元前6世纪，克里特岛的哲学家发现的“说谎者悖论”可以算作人们最早发现的悖论，实际上它还不是上述意义下的严格的悖论。它的原始命题是：一个克里特人说：“所有的克里特人所说的每一句话都是谎话。”试问这句话的真假。如果这句话是真话，则因为这句话也出自一个克里特人之口，所以按此话的论断可推知这句话为假。即由这句话的真可推出它的否定。但反过来，如果这句话为假却不足以推出它为真，只能推出：至少有一个克里特人说过一句真话，不能推出全称的原始命题为真。因此不是严格意义 上的悖论。其实古人也早就发现了这一点，并对其进行修改。最早是公元前4世纪的欧布里德把原始命题改述为：“现在我说的是一句假话。”这就是所谓“强化了的说谎者悖论”。在此基础上，人们构造了一个与之等价的“永恒的说谎者悖论”，表述为：“在本半页这两行里所印的这句话是谎话。”由于这两行中只有这一句话，所以设这句话为真，则要承认它的断言，从而推出该话为假。如设该话为假，则应肯定它的否定为真，即“这句话”不是谎话，所以该话为真。
悖论之所以引起现代数学界和逻辑学界的极大注意，是由于19世纪末20世纪初，在集合论中发现了3个著名的悖论，引起了当时数学界、逻辑学界以至于哲学界的震惊，触发了第三次数学“危机”。
1897年，布拉利和福尔蒂提出一个悖论：设W为一切序数所组成的集合。因为W按自然大小顺序成一良序集，故W有一序数Ω。由序数性质，Ω必比W中任一序数都大，但由定义，Ω也出现在W中，从而将有Ω>Ω，这是矛盾的。即推出互相矛盾的命题，所以是悖论。后来就称之为布拉利一福尔蒂悖论，也叫最大序数悖论。
1899年，G.康托尔发表一个悖论：设S为一切集合所组成的集合。考虑S的基数
，因为任何集合都是S的子集，故不存在其基数大于
的集合，但由康托尔定理可知，S的幂集(即由S的所有子集构成的集合)P(S)的基数
大于
，即推出了互相矛盾的命题。这一悖论后来被称为最大基数悖论，亦被称为康托尔悖论。
1903年，罗素发表了一个悖论：根据排中律，一个客体或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对一个给定的集合，问它是不是自身的分子，即问是否属于它自己。看来是有意义的。如果把一个集合S定义为：S是由一切不是自身分子的集合所组成的，即任一集合a，a属于S当且仅当a不属于a。这必然要涉及到S是否属于S的问题。如果S属于S，根据S的定义，S就不属于S;反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S，即S属于S当且仅当S不属于S。这就推出了两个互相矛盾的命题的等价式。这个悖论就被称为罗素悖论。
继发现集合论中的几个著名悖论后，人们又发现了一些不在集合论范围的悖论。
1905年，理查德提出一个悖论，1906年贝瑞将其表述为一种较简单的形式。试考虑：“用至多一百个字母所不能表述的正整数中最小的一个。”(The least positive integer which can not be described in at mosta hundred letters)但这一短语本身就是对于这个数的一种表述，而它只用了68个字母，矛盾。后来称之为理查德悖论。
1908年，格里林提出一个悖论：一个形容词称为是“非自状的”，如果它并不具有自身所表示的性质。例如“红的”或“英文的”这两个形容词就是非自状的，因为它们并不具有各自所表示的性质;而“黑的”或“中文的”这两个形容词则是自状的，因为它们本身也是黑的或中文的。那么，“非自状的”这一形容词是不是非自状的呢?显然，它是非自状的，当且仅当它不是非自状的。即推出了矛盾命题的等价式。这一悖论后来被称为格里林悖论。
英国数学家拉姆齐在1926年提出把悖论分成逻辑悖论和语义悖论两种。前者又称为语法悖论，包括前述3个集合论悖论;后者也称为认识论悖论，包括前述说谎者悖论、理查德悖论和格里林悖论等。但是随着语义学的发展，真实性概念可以用集合论概念精确定义，因而，两类悖论之间的差别也不是绝对的。
悖论问题对数学基础、数理逻辑和数学哲学的发展都产生了巨大的影响，并在它们的发展中不断得到日益深入的研究。