开方作法本源图

简介

又称“贾宪三角”、“杨辉三角”、“开方求廉作法本源图”。首见于杨辉《详解九章算法》的附录纂类中。是一张二项式展开式系数表。注明“出释锁算书，贾宪用此术”。可见为我国十一世纪数学家贾宪所创造的(图1)。

不难看出，此图每一行就是二项展开式

(x+a)ⁿ＝C₀ⁿxⁿ+C₁ⁿx^n-1a+C₂ⁿx^n-2a²+…+ C_rⁿx^n-ra^r+…+C_nⁿaⁿ的系数C₀ⁿ，C₁ⁿ，…C₂ⁿ，…，C_rⁿ，…，C_nⁿ，(n=0， 1，2，…，r，…，n)。

在朱世杰的《四元玉》中附有类似的“古法七乘方图”，推广到n=8(图2)。

“开方作法本源图”是用来开方的。图下有五句话：“左袤乃积数，右袤乃隅算”，指图中最外两斜行上数字分别表示乘幂xⁿ(隅)、aⁿ(积)的系数。“中藏者皆廉”，古人称展开式中x低于n次项的系数。“以廉乘商方，命实而除之”是指开方求商的过程。我们知道开方就是求x²＝R的正根。由于(e₀+e₁)²＝e₀²+(2e₀+e₁)e₁，如果的初商e。确定后，要试求次商e₁，可以用2e₀+e₁去试除差R-e₀²，这里R是实，2e₀+e₁的2正是n=2这一行的廉。

同样，开立方就是求x³＝R的正根。由于

(e₀+e₁)³＝e₀³+(3e₀²+3e₀e₁+e₁²)e₁

当的初商e₀确定后，可以借助于(R-e₀³)÷(3e₀²+3e₀e₁+e₁²)

开方作法本源

来确定次商e₁。而3e₀²+3e₀e₁+e₁²中的数字3、3正是n=3这一行的廉。所以“以廉乘商方，命实以除之”，正是如何应用各行系数进行开相应次方的注解。

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