Bloch theorem
简介
能带论的基本近似是考虑单电子在晶体点阵的周期场中的运动. 若Hamilton算符
中，
(r)在点阵平移
下不变，则Schrodinger方程
的本征函数具有形式
其中un(k，r)是点阵周期函数
k是一个倒易空间矢量，称为此态的波矢.这就是Bloch定理. 上面的函数ψn(k，r)称为Bloch函数，电子的波函数如具有Bloch函数的形式，则称为Bloch电子.
Bloch定理完全是
(r)具有晶体点阵平移对称性的结果，它是一个普遍的结论，不依赖于
(r)形式的细节. 论证如下. 如定义平移算符T (Rn)，对任意函数f(r)
那么，若Ĥ=
+
(r)中
(r)在T (Rn)作用下不变，则有
所以电子波函数ψ可以取为TRn与
的共同本征函数，故
但周期场中电子的密度分布应具有与势场同样的周期性，所以
现在
若
则上式被满足. 于是
由此
可见
(r)是一个点阵周期函数， 可记作u(k，r)
所以
即为所证.
根据周期性边界条件，k在第一Brillouin区中，取值
诸b是倒易点阵基矢
bi·aj＝2πδij (18)
N1、N2、N3是a1、a2、a3方向上的循回周期.