完全数

perfect number

简介

一个正整数n，如果其全部因数的和等于2n，则称n为完全数。例如6的因数和1+2+3+6=12，28的因数和1+2+4+7+14+28=56，所以6和28都是完全数。

公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯是最早研究完全数的人，他已知6和28是完全数。欧几里得在《几何原本》中对完全数作了进一步的研究。他定义：“完全数是等于其因数之和者。”并在该书第9卷中给出了一个关于完全数的定理：若一个级数(从1开始)的(素数)p项之和

是素数，那么这个和同最末一项的乘积为完全数。即如果p和2^p-1均为素数，则2^p-1(2^p-1)是一个完全数。古希腊人在公元1世纪以前已经知道4个完全数：6，28，496和8128。第5个完全数是33550336=2¹²(2¹³-1)，它是15世纪发现的。主要的问题显然是形如2^p-1的数(p为素数)是否为素数，这恰恰就是梅森素数。18世纪，欧拉证明了，每一个偶完全数n都具有欧几里得指出的形式，即如果n是偶完全数，则n=2^p-1(2^p-1)，其中p与2^p-1为素数。1911年，迪克森给出上述结果的一个简单的证明。这就把完全数与梅森素数联系起来了，至今共发现了37个偶完全数，其最大者为2^3021376(2^3021377-1)(见梅森数)。

是否有无穷多个偶完全数的问题可归结为是否存在无穷多的梅森素数的问题。是否存在奇完全数则是数论中的另一著名问题，至今尚未获解决。已有的成果如下：18世纪，欧拉曾证明，如果存在奇完全数n，则n的分解式为

其中p，q₁，q₂，…，q_t是不同的素数，a≡p≡1(mod4)。1888年，西尔维斯特证明了t≥4，他还指出了t=4不可能。1970年，W.麦克丹尼尔证明了上述分解式中的2β_j+1≡0(mod 3)(j=1，2，…，t)。1973年，P.哈吉斯证明了如果n是奇完全数，那么n>10⁵⁰。1980年，他进一步证明了如果存在奇完全数n，则n至少有8个不同的素因子。

1946年，E.利翁纳将因数之积等于该数本身平方的数称为第二类完全数，例如8²＝1·2·4·8，27²＝1·3·9·27，所以8和27都是第二类完全数。若p，p′为不同的素数，则p³和pp′显然都是第二类完全数。

经研究，完全数有这样一些性质：

(1)完全数可以分解为一些连续自然数之和的形式。如