foundation of geometry
简介
几何学源于土地测量，对象是图形，最初的方法是实验性和直观性的。随着几何研究问题的复杂化，需要进行推理，在明确规定定义和公理的基础上，排除直观，建立合乎逻辑的几何学思想，这就是几何基础问题。古希腊数学家欧几里得《几何原本》的历史意义就在于它是用公理法建立演绎体系的最早典范，曾长期被认为是完善的逻辑体系。但随着时代发展，人们注意到《几何原本》中的逻辑性存在许多缺陷，例如一个公理体系都有若干初始概念或称为不定义概念，点、线、面就属于这一类。而《几何原本》中，欧几里得用含混不清的语句一一给出定义，且在以后的证明中完全没有用到这些定义。欧几里得的公理体系也不完备，没有运动、顺序、连续性等公理，所以许多证明不得不借助于直观。此外，有的公理不是独立的，即可以由别的公理推出来。有鉴于此，数学家们开始重建几何基础的工作，相继提出一些新的公理体系。其中德国数学家希尔伯特提出的最典型。1899年希尔伯特出版了他的名著《几何基础》，建立起所谓希尔伯特公理体系。他将几何学的基本对象叫做点(用A，B，C，…表示)、直线(用a，b，c，…表示)和平面(用α，β，γ，…表示)，又分别称之为直线几何的元素、平面几何的元素和空间几何的元素。然后设想它们之间存在“属于”(在……之上，关联)、“介于”(在……之间)、“合同于”(全合于、相等于)等关系。接着叙述了五组公理：结合公理(关联公理、从属公理)、顺序公理(次序公理)、合同公理(全合公理、全等公理)、平行公理和连续公理。其中结合公理共有8条，确立了点、直线、平面的结合关系，由此可以推出一系列定理，如两条直线至多有一个交点，两个平面或者没有交点，或者有一条相交直线等。顺序公理共有4条，确定了几何元素之间的顺序关系，叙述为“…… 在……之间”。合同公理共有5条，确定了线段或角的合同关系。由以上三种公理可以推出所有直角都相等，每个线段都有唯一中点等定理。平行公理也叫欧几里得公理，它等价于欧几里得第五公设，叙述为“若a是任一直线，A是a外的任一点，则在a和A所确定的平面上，只有一条直线通过A，且不与a相交”。这一公理的引进，使几何基础大为简化，也使几何的构造容易得多了。用合同公理和平行公理可以推出关于圆的许多定理，例如通过不在同一直线上的三点能作一个圆，同一弦上的圆周角同等。连续公理共有2条，第一条也叫做度量公理或阿基米德公理，即若AB和CD是任意两线段，则必存在数n，使A到B的射线上，自A作首尾相接的n条线段CD，必将越过B点。第二条也叫做直线完备公理，即一直线上的点在满足线性顺序定理、合同公理①、连续公理①的条件下，不可能再扩充。这一条后来常用康托尔公理或戴德金公理来代替。用以上五组公理可以推出欧几里得几何的全部内容。如果只将平行公理换成罗巴切夫斯基公理，就可以推出非欧几何中罗氏几何(双曲几何)的全部内容。希尔伯特的几何基础是三维欧几里得几何学的公理论，但很容易把它推广到n维情况。这一几何公理体系后来有多种表示方法，例如汤姆森利用对称变换将希尔伯特公理改写为群论的表示方法(1933)。希尔伯特的几何基础为整个数学基础的研究指明方向，成为现代数学公理化的先驱。