fixed point theory
简介
对于空间X到X自身的映射f，满足f(x)=x的点x∈X，被称为f的不动点。起源于求解方程的代数问题，后转化为几何理论中研究不动点的存在、个数、性质与求法的理论，成为拓扑学和泛函分析中的重要内容。较早的不动点定理是压缩映射原理，1890年由法国数学家皮卡提出，后为波兰数学家巴拿赫(1922)所发展，成为许多方程的解的存在性、唯一性及迭代解法的理论基础。1910年荷兰数学家布劳威尔证明了多面体的不动点定理：设X是欧氏空间中的紧凸集，则X到自身的每个连续映射都至少有一个不动点。这个定理被称为布劳威尔不动点定理。1926年美国数学家莱夫谢茨发展了布劳威尔的定理，得到不动点指数中的莱夫谢茨不动点定理。1913年，G.D.伯克霍夫证明了前一年法国数学家庞加莱关于三体问题的一个猜想，得到庞加莱—伯克霍夫不动点定理。G.D.伯克霍夫还与另一美国数学家凯洛格于1922年共同把不动点定理推广到无穷维函数空间，并应用于证明微分方程解的存在性。1930年波兰数学家绍德尔将布劳威尔不动点定理推广到线性赋范空间中的凸紧集、巴拿赫空间中的凸紧集等到自身的映射上，得到绍德尔不定点定理。1935年原苏联数学家吉洪诺夫将布劳威尔的结果推广到局部凸拓扑线性空间中凸紧集到自身的映射上，得到吉洪诺夫不动点定理。1941年日本数学家角谷静夫又将布劳威尔的结果推广到点列集映射上去。
以上所有不动点定理的证明都是存在性证明。20世纪60年代中期逐渐发展起构造性证明，其方法正在不断发展和改进。