Die lineale Ausdehnungslehre
简介
德国数学家、语言学家格拉斯曼著。1844年出版第一卷。早在1832年格拉斯曼开始研究一种新的几何分析，用它可以简化拉普拉斯的《天体力学》中的数学表述。尽管当时只是为了解决有关的潮汐问题他才使用了新方法，但他认识到了自己的创造的重要意义。1843年秋他完成了这本重要著作的第一卷手稿，名为《线性扩张论》。1844年以《扩张量的科学或扩张论》为题出版。可惜由于其内容比当时的数学水平深，叙述的抽象及夹杂着哲学理论和神秘的教义，其重要性未被同时代人所理解。《线性扩张论》一书一直被专家们所忽视。格拉斯曼原打算续写第二卷，但后来改为重写该书。1862年他出版了该书的修订本，题为《扩张论》。不幸的是，新版本并不比原书好。尽管有高度的独创，但并未立刻赢得赞赏。由于不满于自己的不成功，格拉斯曼经常离开数学研究，而钻研语言，并成为著名的梵语学家。1877年.他整理了该书1844年版的新版本准备发表，于次年他去世后出版。
线性扩张理论是格拉斯曼最重要的创造，它介于解析几何与综合几何之间，是关于几何分析的课题。第一个构想几何分析的人是莱布尼茨，但只有等到解析几何和综合几何在19世纪都有了相当程度的发展之后，几何分析体系才能建立。它的基本原理之一就是有向线段的加法。麦比乌斯曾经发展了一种几何分析，此外，由1843—1853年间发展的哈密顿的四元数理论中产生了一种推广复数的企图，但这一推广只有牺牲乘法交换律才能奏效。与此同 一时期，格拉斯曼发展了他的扩张论，其代数实体是扩张的量，其实是一种有n个分量的超复数。用现代术语来表述，它们组成R上的一个n维向量空间，其基向量为e1，e2，…，en，在试图发现一个合适的基本域S1n中两个量的乘积的努力中，格拉斯曼和哈密顿沿着不同的方向，格拉斯曼不要求S1n成为一个环，而是在S1n上添加一个(n/2)维的向量空间，具有基eij(1≤i<j≤n)。他引入了两类乘法，即内积和外积。对于外积(用括号来表示)，有
因而对任意r(1≤r≤n)，格拉斯曼建立了具有基ei1，ei2，…，eir(1≤i1<i2<…<ir≤n)的秩为r的量的域Sr(nr)。通过运用公式
(根据(j1…jr)是(i1…ir)的偶置换、奇置换或jr不全相异)，S1n的基量的外积可以表为Sr(nr)的一个量。如此，人们立刻可以计算Srn的任意量的外积。通过化为基本单位和运用结合律和乘法分配律，并添加任意秩的量，就得到(用现代术语)S1n上的所谓格拉斯曼代数。对于内积，他假定ei|ei＝1，ei|ej＝0(i≠j)。除此之外，他还发展了一种乘法，他称之为“代数乘法”，它遵守eiej＝ejei(i=1，…，n)这一法则，它导致今天所谓的多项式环。这里格拉斯曼主要是从几何中，特别是n维几何(当时n维几何仍然处于萌芽状态)中得到他的扩张论的思想的。
格拉斯曼的扩张论极其一般和综合，其意义远远超出了其时代。当时在几何学中，数学家们仍习惯于所谓“真实”的三维空间思维，并未看到在虚构的n维空间中考虑“扩张的量”的必要，因为在当时关于超复数的有用的例子最多只包含四个分量。但格拉斯曼不仅考虑了任意维数的流形，而且也引入了看来是人为的乘积和各种元素。他当时还未能预见在其一般的代数方面扩张论的结果意义远为深远。格拉斯曼的思想有助于引导数学家们进入张量理论，是现代线性代数、矩量、向量等等诸领域的先驱工作。格拉斯曼的重要工作导致三个重要方向的发展。首先，空间的几何概念的扩展;第二，影响了向量分析的诞生;第三，预示近世代数的发展。
格拉斯曼去世后，扩张论产生了广泛的影响，意大利数学家皮亚诺1888年的著作《几何分析》(Calcolo geometrico)发展了他的思想。后在德国本土和法国也受到欣赏。美国数学家吉布斯(J. W.Gibbs)很早就欣赏格拉斯曼的新理论，并由此发展出向量代数。该书出版后一个世纪，福德(H. G. Forder)的《张量分析》(Calculus of Extension，1941)的出版表明了扩张论在英语世界的数学家中的持续不断的魅力。