Elements
简介
希腊数学家欧几里得著。这是一部划时代的著作，是用公理方法建立演绎数学体系的最早典范，是至今流传最广、影响最大的一部世界数学名著。它对人类思想的影响仅次于《圣经》。
在欧几里得之前，希腊数学已经历了300多年的蓬勃发展的历史，积累了大量成果。建立一个严密的逻辑体系已势在必然。当时希波克拉底、勒俄(Leo，公元前4世纪)、修迪奥斯(Theudius of Magnesia，公元前4世纪)等人曾试图综合整理希腊几何学的成就，写有《几何原本》数种。但只有欧几里得的《几何原本》对希腊几何学做出了系统化、公理化的总结。它所取得的巨大成功，使这些同类著作逐渐散失了，只有它经受住了历史的考验，流传至今。
《几何原本》共13卷。每卷(或几卷一起)都以定义开头。第Ⅰ卷首先给出23个定义，如“点是没有部分的”，“线只有长度没有宽度”等，还有平面、直角、锐角、钝角、平行线等定义。之后是5个公设。欧几里得先假定下列作图是可能的：(1)从某一点向另一点画直线;(2)将一有限直线连续延长;(3)以任意中心和半径作圆。即他假定点、直线和圆的存在性作为其几何学的基本元素，如此他就可以证明其他图形的存在性。第4公设假定所有的直角都相等。第5公设即著名的平行公设：“若一直线与两直线相交，使同旁内角小于两直角，则两直线若延长，一定在小于两直角的两内角的一侧相交。”自此以后，有许多学者认为这一公设可以证明，并试图寻求证明，未能成功。直到19世纪，高斯、罗巴切夫斯基和波尔约分别独立地由此发展出非欧几何学。公设之后有5个公理，它们一起构成了整部著作的基础。当时认为公理是对所有学科都适用的。如第1个公理“与同一事物相等的事物，彼此相等”。由这些基本定义、公设、公理出发，欧几里得运用严格的逻辑工具在第Ⅰ卷中逐步推出48个命题，这种方法也是整部著作的特点。
《几何原本》前6卷是平面几何内容。第Ⅰ卷内容有关点、直线、三角形、正方形和平行四边形。第5命题：“等腰三角形两底角相等。两底角的外角也相等。”在历史上曾被称为“驴桥”(“笨蛋的难关”之意)。命题44有关面积贴合问题：“在一已知直线(段)上以已知角贴合一平行四边形等于一已知三角形。”意即以已知线段为一边，以已知角作一平行四边形等于已知三角形。此处图形的相等指面积相等，这是在“割补相等”的意义上说的。欧几里得从未把面积看成一个数。面积贴合方法在第Ⅵ卷中又得到发展。第Ⅰ卷命题47是著名的毕达哥拉斯定理：“直角三角形斜边上的正方形等于直角边上的两个正方形(之和)。”
第Ⅱ卷在定义了磬折形之后，给出了14个命题，是第Ⅰ卷命题44、45有关面积变换问题的继续。若将几何变换翻译成代数语言，即从所谓几何代数的观点来看，第Ⅱ卷命题4：“将一线段任意分为两部分，则在整个线段上的正方形等于在部分线段上的两个正方形加上以这两部分线段为边的矩形的二倍”，相当于等式(a+b)2＝a2+2ab+b2。命题5、6、11、14就相当于解二次方程ax-x2＝b2、ax+x2＝b2、x2+ax=a2、x2＝ab。第12、13命题相当于余弦定理的证明。
第Ⅲ卷37个命题，论述圆、圆的相交与相切、弦、圆周角等。
第Ⅳ卷16个命题，全是有关圆的问题，尤其圆的内接与外切直线图形，包括圆内接正多边形的作图。如命题16要求作圆内接正15边形。
第Ⅴ卷发展了一般比例论，赢得后世数学家的高度赞扬。毕达哥拉斯学派的比例论只适用于可公度量，而这里的一般比例论则适用于一切可公度与不可公度量。该卷的核心即包含于开篇的定义中，定义4表明：“两量之间有一个比，若其中的一个量倍乘时能超过另一量。”此定义排斥了无穷大与无穷小，与今天的所谓阿基米德公理类同。定义5给出了比例的定义，被认为是古希腊数学中几个最具创造性的成果之一。数学史家的研究表明欧几里得的定义将有理数分为两类，与戴德金分割异曲同工。余下的定义有关多种比的变换：交比、反比、合比、分比等。在之后给出的25个命题中应用了以上各种运算。
第Ⅵ卷中将前一卷建立的一般比例论应用于相似图形，给出了33个命题。其中第1个命题和最后一个命题都表明了第Ⅴ卷定义5的重要性。命题25要求作一直边图形相似于一已知直边图形，而与另一直边图形相等。在命题27～29中欧几里得再次讨论了面积贴合方法。这里给出了亏形贴合和余形贴合两种情形。命题28即：“在一已知线段上贴合一平行四边形，使之等于一已知直边图形，且亏形相似于一已知平行四边形。”命题给出的巧妙作法给人留下很深的印象，使数学史家对这种方法的来源大惑不解。从代数的观点看，其几何作法相当于解出了一个一元二次方程。命题29相当于余形贴合问题。这些命题在第Ⅹ卷中被用来处理无理数，但更重要的是它们成为其后阿波罗尼奥斯发展圆锥曲线论的基础。事实上，“抛物线”(parabola)、“椭圆”(ellipse)及“双曲线”(hyperbola)几个词即来源于面积贴合方法。
第Ⅶ、Ⅷ、Ⅸ三卷是算术内容，主要讲数论，各有39、27、36个命题。其中第Ⅴ卷中发展的一般比例论被用于数。第Ⅶ卷命题1给出了欧几里得算法。命题22～32是关于素数的。第Ⅷ卷主要处理成连比例的数列问题。第Ⅸ卷命题20相当于证明了“素数个数无穷多”这一结论。
第Ⅹ卷包含115个命题，试图将无理线段进行分类，主要详尽讨论了可以表示成
的线段的各种可能的形式，但离欧几里得的目标相距很远。本卷第1个命题：“给定两不等的量，如果从较大的量中减去它的一大半，再从余下的量中减去其一大半，如此继续不断，总可使余下的量小于所给的较小的量。”这是穷竭法的基础，在第Ⅻ卷中得到应用。
最后三卷致力于立体几何。第Ⅺ卷的大量命题有关平行六面体。第Ⅻ卷主要是应用穷竭法证明了图形的面积和体积之比的一些命题。如命题2：“两圆面积之比等于直径的平方之比”;命题18：“两球的体积之比等于它们直径的立方之比”等。运用穷竭法能够对命题给出严格的证明。过程一般可分为两步，首先是一个逼近程序，然后利用双重归谬完成证明。其严格性即便用现代数学的标准也无可挑剔。据说穷竭法是由欧多克索斯所发明的，是古希腊数学最重要的几个创造之一。第ⅩⅢ卷研究了五种正多面体。
《几何原本》一书从很少的几个定义、公设、公理出发，推导出大量结果，“这是几何学的光荣”(牛顿语)。更重要的是它给出的公理体系标志着演绎数学的成熟，主导了其后数学发展的主要方向，使公理化成为现代数学的根本特征之一。当然，如果用现代数学的标准衡量，《几何原本》的公理系统并非完美无缺，首先欧几里得没有认识到一个公理系统必须有原始不定义概念，其次他的公理系统也不完备。直到1899年德国数学家希尔伯特的《几何基础》一书出版，第一个完备的几何公理系统才建立起来。
欧几里得的希腊文《几何原本》手稿早已失传，现在的各种版本都是后人整理出来的。希腊文明衰微后，大约在9世纪，《几何原本》传入阿拉伯，被译成阿拉伯文。其后又传入欧洲，被译成拉丁文，最早的拉丁文本是1120年左右从阿拉伯文译成的。15世纪后又有从希腊文译成拉丁文的版本。1482年，《几何原本》的印刷本在威尼斯出版，这是西方最早印刷的数学书之一。到19世纪末，《几何原本》的印刷版本达1000种以上。如今世界各国主要文种都有《几何原本》的译本。最早的英译本于1570年由比林斯利(Henry Billingsley)译成出版。中国最早的中文译本是1607年由利玛窦和徐光启合译的。他们只译出前6卷。直到1857年伟烈亚力(AlexanderWylie)和李善兰合译出后9卷(据15卷版本)。1990年，陕西科技出版社出版了根据希思的标准英文版本《欧几里得原本13卷》(The Thirteen Books of Euclid’s Elements，1956年新版)译出的新版本。希思的英译本的底本是海伯格(J.L.Heiberg)与门格(H.Menge)的权威版本《欧几里得全集》(Euclidis opera omnia，1883—1916年出版，希腊文—拉丁文对照)。
20世纪60年代，西方数学教育界掀起一场“新数”运动，喊出了“欧几里得滚蛋”的口号，结果这场运动以失败告终。这表明欧氏几何在中学数学教育中仍然具有不可替代的重要作用。《几何原本》作为重要的数学经典著作不仅具有极大的历史价值，而且仍然具有重要的现实意义。