Euclidean geometry
简介
简称欧氏几何。相对非欧几里得几何学而言，以欧几里得平行公理为基础的几何学。由古希腊数学家欧几里得创始。在此之前，古希腊学者泰勒斯已开始了命题的证明，毕达哥拉斯学派已发现了勾股定理、不可通约量，并知道了5种正多面体的存在，雅典的智人学派提出三等分任意角、倍立方体和化圆为方几何作图三大问题，安蒂丰和欧多克索斯提出并改进了穷竭法，埃利亚学派的芝诺提出有关无穷的4个悖论，原子论学派的德谟克利特用原子法得出锥体的体积公式等。加之柏拉图学派提倡智力训练和逻辑思维的培养，欧多克索斯用公理法创立比例论，亚里士多德对形式逻辑的奠基，使几何公理化水到渠成。约公元前300年，亚历山大学派的创始人欧几里得按照逻辑系统把几何命题整理起来，用公理法建立起演绎体系，完成巨著《几何原本》，使几何成为一门独立的、演绎的科学。欧几里得平行公理是《几何原本》的第五个公设，即“若一直线与两直线相交，所构成的同旁内角之和小于二直角，则把这两直线延长，一定在那两内角的一侧相交”。该公设与“平行线的唯一性”是等价的，也称之为“欧几里得平行公设”，或简称为第五公设。又因为它在欧氏几何中的重要性，有时也称之为“欧儿里得公理”。欧几里得几何学意味着欧几里得公理成立的几何学。
《几何原本》是欧几里得几何学的奠基作，几乎包含了现在中学所学的平面几何、立体几何的全部内容。它是由定义、公设、公理、命题组成的演绎推理系统。每一个命题(相当于现在的定理)都是以公设、公理或它前面的命题作为证明的依据，按逻辑相关性排列而成。欧几里得的这种逻辑地建立几何的尝试，成为现代公理法的源流，在历史上受到很高评价。但用现代标准去衡量，《几何原本》还有不少缺点，例如对点、线、面等原始概念的定义含混不清，个别公理可以从其他公理推出，没有运动、顺序、连续等公理，因此许多证明要借助于直观。
1899年德国数学家希尔伯特出版了他的名著《几何基础》，书中成功地建立起欧几里得几何学的完整的公理体系，即所谓希尔伯特公理体系。该体系首先抽象地把几何学的基本对象叫做点、直线、平面，又分别称之为直线几何的元素(用A，B，C，…表示)、平面几何的元素(用a，b，c，…表示)和空间几何的元素(用α，β，γ，…表示)，再设想它们之间的关系，称之为“属于”(在……之上，关联)、“介于”(在……之间)、“合同于”(全合于、相等于)等，这些基本概念叫做原始的或不定义的，然后阐述了5组公理：结合公理(关联公理、从属公理)、顺序公理(次序公理)、合同公理(全合公理、全等公理)、平行公理和连续公理，以此作为确定基本几何对象性质和逻辑推理的基础，推出欧儿里得几何学的一些基本定理，后人又证明了用这些公理可以推出欧几里得几何的全部内容。这使欧几里得几何学成为一个逻辑结构严谨而完善的几何体系，使数学的公理法基本形成，促进了20世纪整个数学的发展。同时也引起了人们对欧几里得几何基础的大量关注，并启发了相应的儿门非欧几里得几何学的研究。许多人使用不同的不定义元素集或公理的变种描述欧几里得几何学。例如，美国数学家维布伦就曾将公理体系建立在把点和序作为不定义概念的基础上(1904)。意大利数学家皮耶里将公理体系建立在把点和运动作为不定义概念的基础上。近几十年来提出的欧几里得几何公理系统通常建立在不定义的点和向量的概念基础上，该方法是由德国数学家外尔倡导使用的(1918)。1872年，德国数学家C.F.克莱因则在著名的“埃朗根纲领”中首次提出另一种方法，把对于在运动群下不变的仿射空间性质的研究定义为欧几里得几何学，由此引发出n维欧几里得几何学和广义的n维欧几里得几何学的研究。直到今天，欧几里得几何学在内容和方法上仍在不断地充实和提高。