criticality of reactors
简介
反应堆内，中子的产生率和消失率之间保持严格的平衡，使链式反应得以恒定的速率持续地进行下去的工作状态。具有给定几何布置与材料组成的堆芯或装置能够达到临界所需的最小尺寸，称为临界尺寸或临界大小。临界反应堆内核燃料的装载量， 也就是维持自持链式裂变反应所需的易裂变物质的最小质量称为临界质量。一座反应堆的临界质量通常指反应堆芯部中没有控制棒和化学补偿毒物情况下的临界质量。反应堆的临界质量取决于反应堆的类型、材料成分、几何形状和结构等条件，但对于任何一个特定的反应堆系统，它是一个确定的数值。例如，用235U作燃料的反应堆，其临界质量可以小于1 kg，大到200 kg。前者是含有235U富集度为90%左右的铀盐溶液系统的临界质量，后者是天然铀石墨反应堆中所含的235U质量。反应堆的临界条件可以通过增殖因数来表示。
增殖因数 反应堆中新生一代的中子数与产生它的直属上一代中子数之比， 或中子的产生率与中子的消失率之比，通常用符号k表示。在反应堆系统内，中子主要是由于易裂变物质的裂变反应产生的。中子的消失有两种途径， 即在反应堆内被吸收和从反应堆表面泄漏出去。增殖因数又分为无限增殖因数和有效增殖因数。
(1)无限增殖因数：假想的无限大增殖介质的增殖因数，通常用k∞表示。对于无限大系统，没有中子泄漏损失，中子由核裂变产生，并且仅由于被系统内各种材料的吸收而损失。热中子反应堆的无限增殖因数可用k∞=fηεp表示，其中f为热中子利用因数，它是被增殖介质内所有材料吸收的热中子中， 为燃料所吸收的份额; η是燃料每吸收一个热中子后由于裂变而释放的快中子平均数;ε是快裂变因子，它是每一初级裂变中子所得到的最后慢化到238U裂变阈能以下的中子数;p为逃脱共振吸收概率，它表示中子在慢化过程中逃脱共振吸收的份额。k∞=fηεp称为四因子公式， 它是反映系统材料增殖特性的重要参数。四因子模型在早期热中子反应堆的计算与分析中被广泛地应用。
(2) 有效增殖因数： 有限大反应堆系统的增殖因数，通常用keff表示。对有限大系统必须考虑中子的泄漏损失， 根据定义，keff＝k∞A， 其中k∞为无限增殖因数;Λ为系统的中子不泄漏概率，它由两部分组成：慢化过程中的不泄漏概率Λs和热中子扩散过程中的不泄漏概率Λd，即Λ=ΛsΛd。不泄漏概率不仅与系统的材料特性有关，也与系统的大小和几何形状有关。因而，在没有外中子源时，有限大反应堆系统的临界条件是keff＝1，这时反应堆处于稳态，反应堆内中子有一个稳定的分布。若keff<1，则系统是次临界的，当没有外中子源时，中子注量率就会不断衰减到零。若keff>1，系统是超临界的， 中子注量率将随时间不断地按指数规律增长。图中给出了热中子反应堆内的中子平衡关系。
热中子反应堆内中子平衡示意图
临界计算 反应堆临界计算的任务可以归纳为以下几类问题：①给定了反应堆的材料成分，确定它的临界尺寸。②给定反应堆的形状和尺寸 (对于动力反应堆，通常由反应堆热工计算确定)，确定临界时反应堆的材料成分。一般是确定燃料的235U富集度，或所需控制毒物的数量及其布置。这是工程设计中常遇到的情况。③在反应堆物理设计及燃耗计算中，还经常遇到这样一类问题，可称之为临界性计算，即反应堆的几何形状、大小以及芯部的燃料和其他材料成分都已给定，需要求出反应堆的有效增殖因数或反应性。
临界计算是反应堆物理设计的重要部分，除了求出反应堆临界时的体积大小和燃料成分及燃料装载量外，另一个重要的任务是确定临界状态下系统内中子注量率的分布。而堆芯内的释热率或功率的分布是和中子注量率分布成比例的。
反应堆临界计算常用的方法有：连续慢化理论(见中子慢化)和分群扩散理论。
分群扩散法 研究多能中子扩散的一种近似方法。它是计算带有反射层或多区反应堆的有效和常用方法。在这种处理方法中，将中子能量自裂变中子上限能量到热能之间分成为若干个能量区间，或者叫做“能群”。同一能群中子的扩散、散射和吸收用适当平均后的群参数和群截面(称为“群常数”)来描述，各群中子的输运行为用能群扩散方程表述(见反应堆物理计算)。在这种分群理论中，最简单的是“单群”理论，但是它只能给出比较近似的结果。在热中子反应堆计算中。尤其对于以石墨或重水为慢化剂的反应堆，常常采用两群扩散理论。这时，只要群常数选取得当，就能给出比较好的结果。但是近年来随着计算技术的发展及新的堆型(如快中子反应堆)的出现以及对反应堆计算提出更高的要求，则采用少群(2～4群)或多群理论进行计算。
(1)中子注量率分布在临界状态时，反应堆内的中子具有稳定的空间分布。它满足波动方程▽2(r)+B2(r)=0，其中，B2为方程的本征值，(r)为中子注量率空间分布。可以证明，在临界时中子注量率将达到一个稳定分布，它只取决于基态(n=1)的最小本征值，其他所有模态(n>1)都衰减了。用B
表示基态的本征值B
，通常称为系统的几何曲率。几何曲率和反应堆的几何形状以及尺寸有关。表中给出不同形状裸堆的几何曲率和中子注量率分布。
各种几何形状裸堆的几何曲率和中子注量率分布见表。
几何曲率和中子注量率分布
* 包括外推距离。
实际上，在反应堆堆芯外围都设有反射层。反射层是将从反应堆堆芯逃逸出的中子部分散射回反应堆堆芯的结构。反射层的存在可在不改变反应性的条件下减小该堆芯给定方向上的尺寸，即减少临界质量。
(2)热中子注量率不均匀系数反应堆堆芯内热中子注量率的最大值与堆芯内热中子注量率的平均值之比，通常以Fq表示。堆芯内某一点发出的功率是与该点的核裂变反应率Σ成正比的。当各点宏观裂变截面为常数时，功率分布是与中子注量率分布成正比的。Fq愈大，堆芯内功率分布愈不均匀。所以，Fq是表征堆芯内热中子注量率分布不均匀程度的一个物理量。对于圆柱形裸堆，Fq可以分离成径向中子注量率不均匀系数FR和轴向中子注量率不均匀系数Fz，即Fq=FRFZ。对于不同形状裸堆，利用表中的中子注量率分布函数可求出Fq值：球形裸堆，Fq=3.27;圆柱形裸堆，FR=2.31，FZ=1.57，Fq=3.63;正方形裸堆。Fq=3.88。
对于给定的反应堆，单位体积的最大允许功率输出受到热工条件的限制。因此，为了提高堆芯总的功率输出，必须采取一些措施使得反应堆内中子注量率分布变得平坦一些，通常称为注量率展平。注量率展平的主要措施有：①反应堆堆芯核燃料分区布置，将堆芯按径向分布为若干区，每一区采用不同富集度的燃料，这样可以达到径向展平的目的。②在压水堆中，采用化学补偿溶液控制减少控制棒的数目与提升和下插的次数，减少功率的扰动。③控制棒与可燃毒物的合理布置。此外，反应堆堆芯外的反射层也起展平中子注量率密度分布的作用。
(3)临界方程表示反应堆达到临界，维持自持链式反应的条件。上述kell＝k∞∧=1为临界条件。用不同的理论，可以求得关于不泄漏概率的不同表达式。年龄理论的热中子裸堆的临界方程为
而两群理论则为
其中L为热中子扩散长度(见中子扩散);r为中子年龄(见中子幔化);e-B2r或1/(1+τB2)是慢化过程的不泄漏概率∧
;1/(1+L2B2)为热中子扩散过程的不泄漏概率Λd;B2为反应堆的几何曲率。
通常把满足上述临界方程的B2值称为材料曲率，记为Bm2。材料曲率Bm2显然只取决于增殖系统的材料成分和特性 (如，k∞，L2，τ等)， 而与系统的几何形
状及大小无关。例如，对于单群理论，
引进了材料曲率概念后，反应堆临界条件可简述为：临界时，材料曲率等于几何曲率， 即临界方程可以写成B
2=Bm2。
(4) 栅格的非均匀效应 由于栅格结构的非均匀性，引起燃料和慢化剂内的中子注量率分布不同，并使反应堆物理参数发生变化的效应。非均匀热中子反应堆中，核燃料按规则或周期方式排列，呈栅格结构。在非均匀栅格中，由于燃料块空间自屏效应，燃料块内的热中子注量率比慢化剂中的低， 使得热中子利用系数减小。另一方面，由于空间自屏效应，燃料内共振中子注量率降低，同时由于在非均匀结构内，中子在慢化过程中与慢化剂核碰撞的概率增大， 减少了燃料对共振中子的吸收，而使逃脱共振概率增加。这是非均匀堆的一个主要优点。此外， 非均匀结构增加了裂变中子与238U核发生快中子裂变反应的概率， 使快裂变因子比均匀堆的大。通过合理地选择燃料元件的尺寸和燃料元件间的距离(栅距)，在燃料与慢化剂核数比值相同的情况下， 可使非均匀栅格的k∞比均匀反应堆的大。例如，在1942年前后，当时只有天然铀可用作核燃料。分析表明，由天然铀与即使吸收性能很小的慢化剂，如石墨和重水，所组成的均匀系统是无法使k∞大于或等于1，达到临界的。但是，稍后进一步分析表明，若将天然铀和石墨组成非均匀系统是可以达到临界的。这就是为什么世界上建成的第一座反应堆是非均匀的原因。
在计算非均匀反应堆时， 必须考虑栅格的非均匀效应。通常分两步进行： ①计算非均匀栅格的物理参数，在计算时必须考虑到非均匀效应的影响。然后把非均匀反应堆等效成等价的均匀反应堆， 这称之为均匀化过程。②应用均匀反应堆的理论对等效均匀反应堆进行临界计算。