伯努利数

Bernoulli number

简介

设B₀＝1，当k>0时，定义

这些B_i(i=0，1，…，k)被称为伯努利数。按定义，自然得出： 伯努利数是瑞士数学家雅各布·伯努利引入的数，出自于他的著作《猜度术》(1713)。除了B₁外，当k为奇数时，B_k＝0;当k为偶数时，B₂，B₆，B₁₀，…是正分数;B₄，B₈，B₁₂，…是负分数。雅各布·伯努利引入伯努利数的目的是解决所谓“等幂和”的问题：求

对于

到17世纪，已求到了S₁₇(n)，费马等人由此看出S_k可用S_k-1，S_k-2，…的代数式表示出来。一般地，当k为奇数时

的多项式)，当k为偶数时，

x(n的多项式)。

最后可证明S_k(n)是n的k+1次多项式

但是怎样求出这些系数a₁，a₂，…，a_k+1呢?雅各布·伯努利求出了系数间的规律性，并且得出了系数的具体表示，其中的关键性数列B_k被称为伯努利数，他给出了一个形式公式

注意，这是的B^k+1≡B_k+1，不是方幂，而是一个形式记法。按此得出

确定了伯努利数，就解决了等幂和的问题，还可以把伯努利数进行推广，如定义

中的B_n为伯努利数，其中|z|<2π。伯努利数在数论中有许多用处。如对于佩尔方程

x²-py²＝-4(p≡1(mod4)是素数)，

N.C.安克尼和阿廷曾猜测它的最小解x₀+y₀满足py₀。1960年，莫德尔证明了在P≡5(mod8)时，上述猜想等价于伯努利数的分子不被p整除。稍后，S.乔拉证明了对p≡1(mod8)时的同样结论。在费马大定理的证明中，德国数学家库默尔在证明时把素数分为正则素数和非正则素数，并证明了对于正则素数，费马大定理成立，从而取得费马大定理证明的第一次突破。而正则素数就是用伯努利数定义的：设p>3，如果伯努利数B₂，B₃，…，B_p-3的每一个分子都不是p的倍数，这样的素数p就叫做正则素数，否则叫做非正则素数。下面列出几个伯努利数的正分子：