Introductio in analysin infinitorum
简介
瑞士数学家欧拉著。1748年出版于洛桑。
欧拉的《无穷分析引论》、《微分学原理》(Institutiones calculi differentialis，1755)及《积分学原理》(Institutiones calculi integralis，1768—1770)组成著名的分析学三部曲，是分析学发展中的里程碑。它们是18世纪分析学的缩影，不仅作为标准的分析教科书，而且由于它们包含了自牛顿、莱布尼茨以来分析学中大量新的创造成果，直到1821年柯西的《分析教程》出版以前，在很长时间里一直是分析学的最权威的著作。
《无穷分析引论》分2卷，在这本书中欧拉第一次突出强调函数概念，并试图把它作为整个内容的基础，这是第一本沟通微积分与初等分析的专著。第一卷共18章，主要致力于初等函数论。第1章开头(§4)欧拉便给出了一般函数的定义：由一个变量与一些常量通过任何方式组成的解析表达式。在欧拉之前，一些特殊的初等函数已得到了很好的研究。约翰·伯努利曾经将函数概念公式化。欧拉在此明确地将函数定义为量的解析表达式，并表明数学分析是函数的科学，他写道：函数间的原则区别在于组成这些函数的变量与常量的组合法之不同。他定义了多元函数，区分了代数函数与超越函数，显函数与隐函数等。虽然，在弦振动问题的研究中发生了关于函数概念的争论，这促使欧拉去扩展自己的函数概念，但18世纪占统治地位的函数概念仍然是“函数是由一个解析表达式给出的”。欧拉的函数定义反映了18世纪的状况。第2章(§28)中隐含了代数基本定理：z的一个整函数(指有理系数多项式)，其最高次项指数为n，则它含有n个单项式。第4章讨论用无穷级数表达函数，他认为(§59)每一个z的函数都可展开成级数A+Bz+Cz2+Dz3+…。第5章论述含有两个或更多个变量的函数。第7章讨论指数与对数函数的级数表示，这里欧拉只考虑了正自变量的对数函数，给出了著名的表达式：
(这里i表示无穷大的数，后来欧拉用i表示
)。第8章研究圆函数，第一次描述了三角函数的解析理论，并给出了棣莫弗公式e±xi＝cosx±isinx的一个推导，尽管不很严格。第9章的突出点是正弦函数的无穷乘积表示，即
。第10章中处理了大量无穷级数和。第11章给出正弦函数的另一个无穷表达式。第13章讨论循环级数。第16章是这本书的一个高潮，其中载录了欧拉在1740—1744年间关于分拆函数与母函数的发现，其后成为数论研究的有效工具。第18章研究了连分数，并收入了欧拉在1737年和1739年的两篇文章中给出的连分数的一个系统理论。
第二卷属于解析几何内容，论述了高次平面曲线理论，介绍了平面和空间图形的微分几何。他超越同时代人给出了二阶曲线理论的代数发展，并用类比方法研究了三次曲线理论，但其主要贡献是第一次彻底研究了二阶曲面的一般方程。
欧拉一反牛顿以来的传统，拒绝把几何学作为微积分的基础，并纯粹形式地研究函数，即从它们的分析表达式来论证，从而将微积分从几何中解放出来，将它建立在算术和代数的基础上，这为分析学的严格化开辟了正确的道路。他拒绝使用无穷小概念，虽然他使用的级数推理在今天看来并不严格。此外，在《微分学原理》和《积分学原理》中，载录了欧拉关于常微分方程和偏微分方程的大量新发现。他的分析学三部曲对其后分析学的发展产生了巨大的影响。