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13.3.2 反馈控制

2023-02-14

13.3.2.1 反馈控制系统的组成

反馈控制系统的组成框图如图13-66所示,它由控制装置和被控对象两大部分组 成。对被控对象产生控制调节作用的装置称为控制装置。一般控制装置包括下面一些 元件:

检测反馈元件 检测反馈元件的任务是对系统的被控量进行检测,并把它转换成适 当的物理量后,送入比较元件。

比较元件 比较元件的作用是将检测反馈元件送来的信号与给定输入进行比较而得 出两者的差值。比较元件可能不存在一个具体的元件,而只有起比较作用的信号联系。

调节元件 调节元件的作用是将比较元件输出的信号按某种控制规律进行运算。

执行元件 执行元件是将调节元件输出信号转变成机构运动,从而对被控对象施加 控制调节作用。

被控对象是指接受控制的设备或过程。

图13-66 反馈控制系统方框图

如图13-66所示,反馈控制系统是通过检测元件把被控制量反馈到输入端,与代表目 标值的给定值进行比较,利用比较结果得到的偏差信号对被控对象实施控制,以纠正或消除 偏差,使被控制量或被控制参数不受干扰的影响,保持在预定的范围或按预定规律变化。

13.3.2.2 反馈控制系统的性能分析

(1) 稳态误差 如图13-67 是反馈控制系统的结构图,从输入 到输出的前向通道的传递函数为 G(S),反馈通道(检测元件)的传 递函数为H(S)。将目标值、控制 量、操作量、干扰、偏差进行拉普拉 斯变换,分别为R(S)、Y(S)、M(S)、N(S)、E(S)。于是可得到下面的控制的基本公式:

R(S)-B(S)=E(S)

E(S)·G(S)=M(S)

[M(S)+N(S)]·H(S)=B(S)

图13-67 反馈控制系统结构图

从这些式中求控制偏差,则得:

右边第一项是关于目标值的项,第二项是关于干扰的项,由此可看出控制偏差受到怎样的 影响。要使偏差为0,回路的传递函数G(S)·H(S)要很大。

控制偏差是时间的函数,在静态时称作静差。在求静差时,利用终值定理可以方便地 求得。先考虑当干扰固定,目标值只是阶跃α变化时R(S)=α/S,N(S)=0,静差ε可 用下式求得:

将这个偏差称作静态位置偏差或残余偏差。为了使静差很小,回路的增益G(0)H(0)要 很大才能满足。当前向通道的传递函数为:

的形式,即有积分特性时,可以消除阶跃输入时的静差。

当目标值一定,干扰只是阶跃b的形式时,其静差为:

可见,必须G(0)为很大时,由干扰引起的偏差才能减小。应注意的是干扰在系统中加入 的位置。如果G(S)具有积分特性,对干扰产生的静差同样也可以消除。

(2)稳定性 为了静差小,回路的增益就要很大,控制系统就会振荡,有不稳定的趋 势。自动控制系统中,假如目标值和干扰都变化,控制状态就发生变化,但适当时间之后, 偏差再次为0,这是稳定的。对一个控制系统,稳定是绝对必要的。如图13-68(1)就是 稳定的,图13-68(2)偏差渐渐扩大就是不稳定的,图13-68(3)以一定振幅持续振荡,称 为临界状态。

为什么反馈系统会产生不稳定现象呢? 因为反馈有正和负,正反馈由于助长不平衡, 是不稳定的。对负反馈系统,也不见得一定稳定。如果回路的传递函数G(S)H(S)的相 位滞后180°,结果就成了正反馈,因而就会产生振荡。也就是信号的相位滞后和增益对 稳定性有着密切关系。当回路的传递函数的相位差180°,并且其增益刚好为1时,系统就 会产生如图13-68(3)的持续等幅振荡。如果回路的增益比1小,是衰减振荡,是稳定 的;比1大时,就会发散,则是不稳定的。

反馈控制系统的稳定判别法有种种数学上的描述,其中,应用最广泛的是乃奎斯特 (Nyquist)判据。这种方法是着眼回路传递函数的相位和增益,采用图解法,可以简化成如下 的表述:“沿着系统回路传递函数的频率相应G(jω)·H(jω)的向量轨迹,从ω=0到ω=∞ 的方向前进,如果(-1,j0)是在左面见到就是稳定的,如果是在右面见到的就是不稳定的”。

用图13-69乃奎斯特图说明,三根曲线分别是G(jω)·H(jω)的向量轨迹图。(-1,j0)点就是增益为1,相位差为180°。A比1 小,是稳定的,B比1大是不稳定的,C与1 相等是临界状态。

图13-68 系统的稳定性

图13-69 G(jω)·H(jω)的向量轨迹图

(3)稳定裕量 表征控制系统稳定度 的量有增益裕量和相位裕量,从回路的传 递函数的向量轨迹图就能推导出来。

如图13-70所示,增益裕量是向量轨 迹与负实轴相交的B点比-1点小多少分 贝数来表示。相位裕量是以原点为圆心、 以1为半径划一个圆,与向量轨迹相交A 点,对-180°有多少角度就作为相位裕量。 可以用下式来表示:

相位裕量=∠AOC

图13-70 稳定裕量

因此,向量轨迹越向(-1,j0)点靠近,相位裕量越小,直至近乎为0。如果裕量过小, 则稳定性就差,过大则反应迟钝,最佳值是根据控制系统的不同而不同,不能一概而论,过 程控制中增益裕量为6~20dB、相位裕量25°~60°左右为好。

(4) 瞬态响应 如果干扰或目标值变化而引起的系统的动荡很快就重新稳定下来,这种特性就是系统响应的快速性,是表征控 制性能好坏的一个重要指标。一阶控制系统 不产生振荡,它是以指数规律来响应的。二 阶及以上的系统,可能会产生振荡。

图13-71 典型二阶控制系统

如图13-71所示的典型二阶系统中:

式中

上式中的ζ称作阻尼系统,根据ζ的值,就可知道系统是否振荡。上式的特征根是(-ζ /T,当ζ>1时,有两个不同的实根,ζ=1时,有一对相等的根,ζ<1时有一对 共轭复数根。

① ζ>1时,T1

这时,时间常数是T1和T2,属于一阶迟后类型,系统的阶跃响应为:

显然,这是非振荡的过渡过程。

②ζ=1时,T1=T2=T,这是特殊情况,

③ζ<1时,二阶系统的阶跃响应为:

此式表示出是以 为振幅的振荡 波形。若0<ζ<1,振幅随时间而衰减,成为衰 减振荡,若ζ=0,振幅为固定的持续振荡。

图13-72是二阶系统的阶跃响应曲线,它 是以ζ为参量描绘的。如果T相同,ζ比1大, 随着ζ大于1越多,跟踪性能就越迟慢;ζ比1 小时,输出就会振荡,过小就会产生超调。

二阶以上的高阶系统的响应,可从二阶系 统特性类推出来。

图13-72 二阶系统的阶跃响应