英文
Morse function
简介
微分拓扑学的一个重要函数.微分流形M到R的函数，其临界点都是非退化的.设M是n维微分流形，f：M→R为C∞函数，p∈M是f的临界点，(U，φ)是M的含p的卡，坐标函数为(x1，x2，…，xn)，则
p＝0 (i=1，2，…，n)，
记
Hf(p)=
n×n，
称为f关于卡(U，φ)在p处的海赛矩阵.若海赛矩阵Hf(p)非退化，则称p是f的非退化临界点.此时Hf(p)的负特征值个数称为p的指数.临界点p的非退化性及指数与含p的卡的选取无关.
下述著名的莫尔斯引理给出光滑函数f在非退化的临界点邻域的局部性质.设p∈M是C∞映射f：M→R的指数为r的非退化临界点，则存在M的含p的卡(U，φ)，使得φ(p)=0，并且
u=(u1，u2，…，un)∈φ(U)，
f°φ-1(u)=f(p)-
u2i+
u2j.
微分流形M上的光滑函数f：M→R，若f所有的临界点都是非退化的，则称为莫尔斯函数.由莫尔斯引理知，当M是紧致流形时，M上的莫尔斯函数仅有有限个临界点.对于任意微分流形M，M上的全体莫尔斯函数的集合在C∞s(M，R)中是开的稠密子集.由于M上的莫尔斯函数与M的拓扑性质有密切关系，所以莫尔斯函数是一类有重要意义的函数，它的性质有着广泛应用，例如，黎泊定理、紧致曲面的拓扑分类等都用到它.