射影空间的微分结构

英文

differential structure of projective space

简介

微分流形的重要例子.它在拓扑学各分支及其相关学科中是常见的.若在Rⁿ⁺¹-{0}中规定等价关系“～：对于x，y∈Rⁿ⁺¹-{0}，

x～y当且仅当存在λ∈R，x=λy，

则商拓扑空间Rⁿ⁺¹-{0}/～称为n维(实)射影空间，记为RPⁿ.若π： Rⁿ⁺¹-{0}→RPⁿ为自然投影，即对于x∈Rⁿ⁺¹-{0}，π(x)=[x]是x所属的等价类，则按下述方式RPⁿ是n维微分流形，对于i=1，2，…，n+1，记

U_i＝{[x]∈RPⁿ|x=(x₁，x₂，…，x_n+1)

　　∈Rⁿ⁺¹-{0}，x_i≠0}

与φ_i： U_i→Rⁿ，对于[x]∈U_i，x=(x₁，x₂，…，x_n+1)，

从而Φ={(U_i，φ_i)|i=1，2，…，n+1}是RPⁿ的一个(光滑)图册，由此决定RPⁿ上的(光滑)微分构造，从而使得RPⁿ是n维微分流形.特别地，RP¹S¹，RP²为2维射影平面.类似地，可定义复射影空间CPⁿ，它是2n维(实)微分流形.