辛群的泛丛

英文

universal bundle of symplectic group

简介

辛群Sp(k)的具有泛性质的主丛.记全体四元数之集为H.对于y∈H，

y=x₀+ix₁+jx₂+kx₃，

y–＝x₀-ix₁-jx₂-kx₃

称为y的共轭四元数.一个n×n四元数矩阵A称为是辛矩阵，若AA–′=I，其中A–′为A的转置共轭，I为单位矩阵.若记全体n×n辛矩阵之集为Sp(n)，则在矩阵的乘法之下，它构成一个群，称为辛群.如同酉群与正交群的情形，有Sp(k)Sp(n)，当k≤n时，若V_n，k(H)={(v₁，v₂，…，v_k)|v_i∈Hⁿ，v_iv–_j＝δ_ij，1≤i，j≤k}，则V_n，k(H)可以看做Hⁿ中k维标架所构成的流形，称为四元数史梯福流形.若G_n，k(H)为Hⁿ中一切k维子空间所构成的流形，则称为四元数格拉斯曼流形.若

则(V_n+k，K(H)，π，G_n+k，k(H)，Sp(k))为Sp(k)的4n-1泛丛.如同在实数与复数情形，若

ESp(k)=V_n+k，k(H)，

BSp(k)=G_n+k，k(H)，

则ξ_Sp(k)＝(ESp(k)，π，BSp(k)，Sp(k))称为辛群Sp(k)的泛主丛，BSp(k)为辛群Sp(k)的分类空间.特别地，有V_n，1(H)S^4n-1，G_n，1(H)HP^n-1.