斯廷罗德代数

英文

Steenrod algebra

简介

一个作用在上同调环上的代数.它是代数拓扑中的一个重要工具.斯廷罗德平方Sqⁱ的性质可以用以下七条公理来规定(所用系数群为Z₂)：

1.对于所有整数i≥0及n≥0，存在一个函子的自然变换Sqⁱ：Hⁿ(X，A)→Hⁿ⁺ⁱ(X，A)，并且Sqⁱ为同态.

2.Sq⁰＝恒同同态.

3.若dim x=n，则Sqⁿx=x².

4.若i>dim x，则Sqⁱx=0.

5.嘉当(Cartan)公式：

Sq^k(xy)=SqⁱxSq^k-iy.　　

6.Sq¹为系数群的正合序列

所决定的鲍克斯坦同态

β： Hⁿ(X，A)→Hⁿ⁺¹(X，A).

7.亚得姆关系：若0<a<2b，则

Sq^aSq^b＝Sq^a+b-jSq^j，

其中

表示模2二项式系数.Sqⁱ由前5条公理惟一决定.若Я₂是由Sqⁱ(i=0，1，2，…)生成的在Z₂上的自由分次可结合代数，I₂为由Sq⁰＝1和亚得姆关系所产生的理想，则φ₂＝Я₂/I₂，称为模2斯廷罗德代数.映射

ψ(Sq^k)=SqⁱSq^k-i

可以扩充为代数同态ψ：φ₂→φ₂φ₂，ψ称为对角映射.φ₂为具有可交换和可结合的对角映射ψ的霍普夫代数.

简化幂Pⁱ的性质可以用以下六条公理来规定(所用系数群为Z_p，p为奇素数)：

1.对所有整数i≥0及n≥0，存在一个函子的自然变换Pⁱ：Hⁿ(X，A)→H^n+2i(p-1)(X，A)，并且Pⁱ为同态.

2.P⁰＝恒同同态.

3.若dim x=2k，则P^kx=x^p.

4.若2k>dim x，则P^kx=0.

5.嘉当公式：

P^h(xy)=PⁱxP^h-iy.

　　6.亚得姆关系，若a<pb，则有

P^aP^b＝(-1)^a+tP^a+b-tP^t，

若a≤pb，则有

P^aβP^b＝(-1)^a+tβP^a+b-tP^t

+(-1)^a+t-1P^a+b-tβP^t，

其中β：Hⁿ(X，A)→Hⁿ⁺¹(X，A)为系数群的正合序列0→Z_p→Z_p²→Z_p→0所决定的鲍克斯坦同态.Pⁱ由前5条公理惟一决定.若Я_p是由β，Pⁱ (i=0，1，2，…)生成的在Z_p(p>2的素数)上的分次可结合代数，I_p为由β²＝0，P⁰＝1和亚得姆关系产生的理想，则φ_p＝Я_p/I_p称为模p斯廷罗德代数.利用映射

ψ(P^h)=PⁱP^k-i

和ψ(β)=β1+1β可以扩充为代数同态

ψ称为对角映射，φ_p为具有可交换和可结合的对角映射ψ的霍普夫代数.