覆叠空间

英文

covering space

简介

亦称覆盖空间.同伦论中一个重要概念.设X~是道路连通空间，X是连通且局部道路连通空间，p：X~→X是连续满映射，若对于X中每一点x都有一个道路连通开邻域U，使得对于p^-1(U)的每个连通分支V，p在V上的限制p|V：V→U是同胚，则称(X~，p)为X的覆叠空间，称p为覆叠映射，称X为底空间，这样的邻域U称为x的可允许的邻域.例如，指数映射π：R¹→S¹，把t∈R¹映为e^2πit∈S¹，则(R¹，π)是S¹的覆叠空间.若对于1∈S¹，取

则

为同胚.

覆叠空间理论包括映射提升定理，覆叠空间的分类定理，以及万有覆叠空间的存在性等内容.例如道路提升定理：设(X~，p)是X的覆叠空间，p：X~→X为覆叠映射，若a∈X，b∈p^-1(a)，v为X的以a为起点的道路，则X~内有惟一的以b点为起点的道路v~，满足p°v~＝v，v~称为道路v的提升.类似地，有闭路同伦提升定理：设(X~，p)是X的覆叠空间，若F：I×I→X为连续映射，满足条件

F(0，t)=F(1，t)=a，　0≤t≤1，b∈p^-1(a)，

则存在惟一的连续映射F~：I×I→X~满足条件

p°F~＝F，　F~(0，t)=F~(1，t)=b，　0≤t≤1，

F~称为F的提升.根据上述提升定理可知：覆叠映射p的诱导同态p_*： π₁(X~，b)→π₁(X，a)是单同态.