英文
continuous selection
简介
一类特殊的选择函数.设Ω=｛Sα|α∈D｝为非空集族，D上的函数
C： D→
Sα
若满足：对于任意α∈D，C(α)∈Sα，则称C为选择函数.选择公理断言任一非空集族都存在选择函数.当D为有限集时选择函数存在.当D为无限集时无法判定选择函数是否存在，也无法按一种规则构造选择函数.在一定的数学结构下常对选择函数加以限制，例如，在拓扑学中考虑连续选择，在测度理论中考虑可测选择等.选择问题开始于选择公理.策梅洛(Zermelo，E.F.F.)为了证明良序原理在1904年提出了选择公理，对于现代数学的发展和逻辑上的严密性起了很大作用.
选择公理的直接发展是超空间的选择问题.主要讨论的课题是什么样的超空间存在连续选择以及借助于存在连续选择的特征来刻画超空间的结构.例如：零维完备度量空间的非空闭子集空间关于有限拓扑存在连续选择;线性序拓扑空间的良序子空间族关于有限拓扑存在连续选择;度量连续统X关于有限拓扑存在连续选择的充分必要条件为X是弧;紧度量空间X的闭连通子空间族关于有限拓扑存在连续选择的充分必要条件为X是广义树等.
超空间上连续选择的一般化为集值映射的连续选择.设X，Y为拓扑空间，F：X→Y为集值映射.若单值映射g：X→Y满足：
1.对于任意x∈X，g(x)∈F(x);
2.g是连续函数;
则称g为F的连续选择.连续选择理论开始于迈克尔(Michael，E.)，他自1956年以来的系统工作奠定了选择理论的基础.集值映射的连续选择问题主要涉及其定义域空间、值域空间及映射特性等几个方面.即什么样的空间对什么样的映射存在什么样的选择，以及由存在选择的特征来刻画空间结构等问题.这一问题与连续扩张、连续逼近等问题密切相关，它们在优化理论、数理经济学、博弈论等学科中有广泛的应用.