西蒙斯不等式

英文

Simons inequality

简介

子流形几何的一个重要不等式.这是关于球面中极小子流形的第二基本形式模长平方的不等式.若Mⁿ为单位球面S^n+p(1)中的闭极小子流形，Δ为Mⁿ的拉普拉斯算子，σ为Mⁿ的第二基本形式，则有

∫_M|σ|²|σ|²dv≤0.

它称为西蒙斯不等式.由西蒙斯不等式立刻可以推出：若Mⁿ是紧致闭的，且

|σ|²<n，

则Mⁿ是全测地的.另外，陈省身、杜卡莫(do Carmo，M.)和小林昭七于1969年证明：若S^n+p(1)中的紧致极小子流形Mⁿ满足

　　　　　|σ|²＝，

则或者Mⁿ为Sⁿ⁺¹(1)中的克利福德极小超曲面;或者n=2，且M为S⁴(1)中的凡罗尼斯曲面.西蒙斯不等式出现在他的文章“Minimal Varieties in Riemannian manifolds”中，该文对于广义伯恩施坦问题、极小子流形的拼挤问题和稳定性等都有很好的研究，是极小子流形理论中的一篇非常重要的文献.