卡拉比猜想

英文

Calabi conjecture

简介

关于克勒度量的一个著名猜想.卡拉比(Calabi，E.)于1954年在一篇关于“克勒度量的空间”的文章中提出如下猜测：设Mⁿ是紧致克勒流形，ω=iΣg_αβ–dz^α∧dz–^β为克勒形式，ρ=iΣR_αβ–dz^α∧dz–^β为里奇形式.若给定的实闭(1，1)形式ρ′的上同调类[ρ′]与ρ的上同调类[ρ]一致，则在M上存在一种且只存在一种具有下列性质的克勒度量：

1.其克勒形式ω′和ω决定相同的上同调类，即[ω′]=[ω].

2.其里奇形式与给定的ρ′一致.

在该文章中，卡拉比已证明了惟一性.里奇形式ρ的重要性在于M的第一陈类C₁(M)与2π[ρ]一致.卡拉比特别关心C₁(M)=0的情况.在命题“若C₁(M)=0，则存在里奇形式为0的克勒度量”的假设下，他证明了上述猜测的特殊情况.所要求的ω′用适当的实数φ可以写成ω′=ω+iφ，于是问题可归结为求下列φ的微分方程：(ω+iφ)ⁿ＝e^fωⁿ，其中f是由ρ′=ρ-if和

而定的实函数.与上述猜测(通常称为第一猜测)有关尚有下列第二猜测：若Mⁿ为紧致流形，第一陈类C₁为负，则满足R_αβ–＝-g_αβ–的克勒度量存在且只有一个.这种度量就是所谓克勒-爱因斯坦度量，这时微分方程变为

e^-φ(ω+i φ )ⁿ＝e^fωⁿ.

奥平(Aubin，T.)于1976年初解决了第二猜测，而丘成桐于1976年底把两个猜测都解决了.卡拉比猜测的解决，使得克勒-爱因斯坦流形的研究更加重要.