外微分

英文

exterior differential

简介

一种映射.指外微分形式空间上的一个微分算子.设A(M)是n维光滑流形M上的光滑外微分形式空间.外微分(算子)d是一个映射d：A(M)→A(M)，使得d(A^p(M))A^p+1(M)，并且满足以下条件：

1.d是R线性的.

2.若f∈A°(M)≡C^∞(M)，则df是f的微分且d(df)=0.

3.若ω∈A^p(M)，即ω是p形式，σ是(外)微分形式，则d(ω∧σ)=dω∧σ+(-1)^pω∧dσ.

外微分算子d有以下性质：

1.d是局部算子，即，若两个微分形式ω₁和ω₂在M的一个开集U上相等时，则它们的外微分dω₁和dω₂在U上也相等，换言之，若ω₁|_U＝ω₂|_U，则dω₁|_U＝dω₂|_U.

2.对于任意的微分形式ω，有d(dω)=0，或简单地表为d²＝0，这就是庞加莱引理.

3.拉回映射f^*与外微分d是可交换的，即若f：M→N是光滑微分流形间的光滑映射，则有f^*°d=d°f^*.

4.设ω是p形式，X₁，X₂，…，X_p+1是M的任意p+1个向量场，则ω的外微分dω为

dω(X₁，X₂，…，X_p+1)

＝(-1)ⁱ⁺¹X_i(ω(X₁，…，X^_i，…，X_p+1))

+(-1)^i+j(ω([X_i，X_j]，

X₁，…，X^_i，…，X^_j，…，X_p+1)).式中X^

意味着X被删去.