数学百科

欧拉参数

2023-06-26

英文

Euler parameter

简介

描述刚体绕定点转动状态的四个参数.是刚体绕定点运动时，确定其转动量的四个参数.设刚体绕通过定点的向量λ=λ1i1+λ2i2+λ3i3 (i1，i2，i3是过定点的互相正交的单位向量)，依右手螺旋法则的转角为φ，则令

q0＝cos，q1＝sin，

　　q2＝sin，q3＝sin ，

(｜λ｜=)

这些就是欧拉参数，称q1i1+q2i2+q3i3为欧拉向量.可用欧拉参数表示出刚体上任一点转动前后的坐标变换关系，即

　x′=[2(q20+q21)-1]x+2(q1q2-q0q3)y

　　　+2(q3q1+q0q2)z，

　y′=2(q1q2+q0q3)x+[2(q20+q22)-1]y

　　　+2(q2q3-q0q1)z，

　z′=2(q3q1-q0q2)x+2(q2q3+q0q1)y

　　　+[2(q20+q23)-1]z，

(x，y，z)， (x′，y′，z′)分别是同一点在转动前、转动后在固定坐标系下的坐标.欧拉参数与欧拉角、布里恩角都有确定的关系，只需比较各自的变换关系即可得到.也可用欧拉参数表示出刚体的角速度和角加速度，例如，

　　ω1＝2(q·1q0–q·0q1+q3q·2-q2q·3)，

　　ω2＝2(q·2q0–q·0q2+q1q·3-q3q·1)，

　　ω3＝2(q·3q0–q·0q3+q2q·1-q1q·2)，

　　ε1＝2(-q1q¨0+q0q¨1+q3q¨2-q2q¨3)，

　　ε2＝2(-q2q¨0-q3q¨1+q0q¨2+q1q¨3)，

　　ε3＝2(-q3q¨0+q2q¨1-q1q¨2+q0q¨3)，

分别是角速度ω、角加速度ε在随刚体运动的坐标轴上的投影.各个q上的点号表示对时间求导数.用欧拉参数表示的运动学方程

　　　q·0＝(-ω1q1-ω2q2-ω3q3)，

　　　q·1＝(ω1q0-ω2q3+ω3q2)，

　　　q·2＝(ω1q3+ω2q0-ω3q1)，

　　　q·3＝(-ω1q2+ω2q1+ω3q0)

不会产生奇点，当ω1，ω2，ω3为已知函数时，便于进行数值积分.