模形式论

英文

theory of modular form

简介

关于模群或其他算术子群的自守形式理论.就其内容和方法而言，应是数论的一部分，它与椭圆曲线、非交换调和分析、代数几何等有着十分深刻的联系，现已成为数学中的一个综合学科.设Γ是模群，H是上半平面，k是整数.H上全纯函数f若满足条件：

1.对∈Γ，

f＝(cz+d)^kf(z);

2.f在尖点的邻域内全纯，即f有正则傅里叶展开

a_ne^2πinz;

则称f为权k的模形式.若进一步还有

3.在条件2的傅里叶展开中，a₀＝0，则称f是权k的尖点形式.

权k的模形式全体构成一个线性空间M_k(Γ)，尖点形式全体构成一个子空间S_k(Γ).由

M_k(Γ)M_k′(Γ)M_k+k′(Γ)，

M_k(Γ)S_k′(Γ)S_k+k′(Γ)

知

M(Γ)=M_k(Γ)

成为一个分次环，

S(Γ)=S_k(Γ)

是其理想.M_k(Γ)是一个有限维空间，其维数可由黎曼-罗赫定理或迹公式求出：当k<0，k=2或k为奇整数时，dimM_k(Γ)=dimS_k(Γ)=0;当k=0，4，6，8，10时，dimS_k(Γ)=0;当k>12且k为偶数时，dimM_k(Γ)=1+dimM_k-12(Γ)，dimS_k(Γ)=dimM_k-12(Γ).具体构造模形式的方法可通过庞加莱级数和艾森斯坦级数给出：设k=2r为大于3的偶数，记

G_r(z)=′(mz+n)^-k，

′表示对所有非(0，0)的整数组(m，n)求和，这一级数称为艾森斯坦级数，它在∞处有傅里叶展开

G_r(z)=2n^-k+d^k-1e^2πinz，

这是一个权k的模形式但不是尖点形式.又设

记

P_v(z)=e^2πivT(z)(cz+d)^k，

其中

这类级数也是权k的模形式，称为庞加莱级数.当v≥1时，P_v是尖点形式，并且每个权k的尖点形式均可表示为这类级数的线性组合，这样模形式空间可由庞加莱级数和艾森斯坦级数线性生成.此外，诸G^a₂(z)G^b₃(z)(4a+6b=k，a，b为非负整数)生成M_k(Γ).判别式模形式

Δ(z)=(60G₂(z))³-27(140G₃(z))²

是权12的尖点形式，这是权最小的尖点形式，于是S(Γ)=M(Γ)Δ.当k≥3时，在S_k(Γ)中可定义如下内积

(f，g)=∫_Df(z)y^k-2dxdy

(z=x+iy，D为Γ的基本区域)，这个内积称为彼得松内积.S_k(Γ)关于这个内积构成一个希尔伯特空间.由于f，g∈M_k(Γ)中有一个为尖点形式时，这个积分就收敛，所以可定义S_k(Γ)在M_k(Γ)中正交补空间E_k(Γ)，它由艾森斯坦级数生成，也称艾森斯坦空间.

定义在H上关于模群的自守函数称为模函数.任何一个模函数f，对充分大的k，可表为两个模形式f₁，f₂∈M_k(Γ)的商：f=f₁/f₂.对于Γ的子群，也可类似地定义模形式.特别地，关于级为N的同余子群的模形式称为级N模形式，许多对级1模形式成立的结果对级N模形式也成立或有类似的结论.研究这些群上的模形式空间的构造是模形式论中一个重要课题.顺便指出，上述模形式论中的许多概念、结论对一般的自守形式论也成立.模形式的研究历史很长，研究它的一个主要动机是研究二次型，特别是计算二次型表整数的表法个数问题，最简单的就是计算一个整数n可以写成k个整数的平方和的表示法个数r_k(n).雅可比(Jacobi，C.G.J.)首先注意到这个问题与模形式之间的联系，他引入θ级数

θ(z)=e^πin2z，

则

θ^k(z)=r_k(n)e^πinz.

当k=8m时，θ^k(z)是一个权为4m的级4模形式.于是利用模形式论，可以用艾森斯坦级数的傅里叶系数给出r_k(n)的渐近公式，并在一些特殊情况下求出其精确值.例如

r₈(n)=16d³.　　

20世纪初，赫克(Hecke，E.)在总结前人工作的基础上建立了赫克理论，开辟了模形式研究的新途径，使得模形式理论成为一门完整、优美的学科，并发挥出越来越大的作用.赫克在M_k(Γ)中引入了一类新的线性算子(赫克算子)，它关于彼得松内积是埃尔米特算子，并且是交换的，于是模形式空间可由赫克算子的公共特征函数生成.而这些函数的傅里叶展开式系数具有一定的算术性质.赫克还建立了模形式与狄利克雷级数之间的联系(赫对应)：若

f(z)=a_ne^2πinz

是一模形式，则

　　　　　　　　L(f，s)=∫^∞₀(f(iy)-a₀)ydy

　　　　　　　　　　　=a_nn^-s，

称为对应于f的L函数，它满足一定的函数方程，并可解析开拓至全平面.特别地，当f是尖点形式且是所有赫克算子的公共特征函数时，L(f，s)是整函数，且有欧拉积

L(f，s)=L_p(s)，

其中L_p(s)=(1-α_pp^-s)^-1(1-β_pp^-s)^-1(α_P，β_p∈C).赫克的工作后来又被其他一些数学家继续发展和完善，现已成为模形式论中最优美、最有力的理论之一.

前面所谈的都是权为整数的情形.此外在二次域的算术、椭圆曲线等的研究中，半整权模形式也是十分常见的.例如，在k为奇数时，计算r_k(n)，半整权模形式也扮演了重要角色.日本数学家志村五郎(Shimura，G.)于1974年建立了一个从k/2权到k-1权之间模形式空间的对应(志村提升)，这里k为奇整数，并对半整权模形式也建立了相应的赫克理论，开始了对半整权模形式的系统研究.后又经许多数学家的努力，半整权模形式现已成为一个十分活跃的领域，并在许多领域取得了很好的应用.例如，关于同余数问题的研究就借助了半整权模形式理论.

盖尔芳特(Gelfand，I.)、塞尔贝格(Selberg，A.)从群表示的角度推广了模形式的概念.朗兰兹(Langlands，R.)则进一步发展了他们的思想，并提出了一系列的猜想，称为朗兰兹纲领.它对表示论、数论、代数几何乃至数学的发展都产生了极其深刻的影响.

模形式与许多重要的数学问题有关，上述朗兰兹纲领即是针对非阿贝尔扩域的类论研究.此外，著名的高斯类数猜想即虚二次域类数问题的解决也用到了模形式.而模形式论中著名的拉马努金-彼得松猜想则依赖于代数几何中韦伊猜想的解决.模形式有许多推广形式，如西格尔模形式、希尔伯特模形式以及埃尔米特模形式、希尔伯特-西格尔模形式、四元数上的模形式等，它们为丰富和发展数学这一古老的学科起了积极的推动作用.