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automorphic function
简介
圆函数、双曲函数、椭圆函数等概念的推广.设X是Cn中有界连通开集，G是X赋以紧开拓扑后的自同构(即双全纯双射)群，Γ是G的离散子群，若一个亚纯函数f在Γ作用下不变，则称为(关于Γ的)自守函数.若存在一个Γ×X到C的函数α(r，z)，它关于z∈X全纯，且处处非零，使得对每个γ∈Γ有：f(γ，z)=α(r，z)f(z)(z∈X)，则称f为(关于Γ的)自守形式，α被称为自守因子，它应满足关系α(γγ′，z)=α(γ，γ′z)α(γ′，z)(注意：这里f通常要求是全纯的，并且f在尖点处的性态要有一些适当的条件).
自守函数与自守形式的研究历史很久，早在高斯(Gauss，G.F.)就有了初步的概念，但他没有发表这些结果，直至19世纪60年代才被重新发现和研究.第一个系统地研究并形成理论的是庞加莱(Poincaré，(J.-)H.)，他关于单变量自守函数理论的工作被誉为是划时代的，极大地推动了解析函数论的发展.西格尔(Siegel，C.L.)则创造性地把单变量的研究推广到多变量情形，这并不是一件自然的事情，这一工作对多复变函数论的发展起了极大的促进.盖尔芳特(Gelfand，I.)和塞尔贝格(Selberg，A.)从酉表示的观点来研究自守函数和自守形式，这一思想极大地开拓、丰富、发展了自守函数和自守形式理论，近年来，朗兰兹(Langlands，R.)进一步发展了这一思想，他在这方面的结果和想法，更是涉及到数学的几乎每一个分支，特别对数论、代数几何、非交换调和分析和自守函数与自守形式理论本身等学科的发展产生了极其深远的影响.时至今日，自守函数与自守形式的研究已成为现代数学的中心课题之一.