英文
Liouville theorem
简介
超越数理论及丢番图逼近中的重要定理.在代数数的有理逼近问题中，刘维尔(Liouville，J.)首先得到了以下重要结果，即刘维尔定理：对于任给的一个n>1次代数数α，存在一个与α有关的常数b>0，使得对所有的有理数p/q(q>0)，均有
由此可得到重要的推论，即：若α是任一n次(n>1)代数数，则对任一ε>0和A>0，适合不等式
的有理数p/q(q>0)只有有限个.这是超越数理论的开创性的工作.正是运用这个定理，最先构造出一类超越数.例如，
ξ=
10-n!
就是一个超越数.然而如何使刘维尔定理精密化，仍然是有理逼近论中的重要课题.自1844年刘维尔创立上述定理以来，图埃(Thue.A.)、西格尔(Siegel，C.L.)等人的改进，直至1955年才由罗特(Roth，K.F.)得到了最好的结果，他证明：若ξ是一个n>1次代数数，对于任给的ε>0，仅有有限组整数对p，q(q>0)适合
当ξ是无理数时，则有无穷多对整数p，q(q>0)适合
因而，罗特的结果已不能再予改进.史密特(Schmidt，E.)于1970年将罗兹定理推广至联立逼近的情况，即：若α1，α2，…，αn为实代数数，且α1，α2，…，αn在有理数域上线性无关，则对任何ε>0，皆仅有有限多个正整数q， 使得‖qα1‖…‖qαn‖q1+ε<1，其中‖ξ‖表示实数ξ与它最近整数的距离.特别地，由此可得
仅有有限多组有理解p1/q，p2/q，…，pn/q.这是至今为止，关于这个问题的最好结果.