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Generating function
简介
亦称发生函数或生成函数.数论、组合数学、插值与逼近论中的重要数学工具.设关于函数g(t)在t=0的某邻域内收敛的幂级数为
g(t)=
antn，
这就确定了数列{an}.这时，称g(t)为序列{an}的母函数.对于函数列{fn(x)}，类似地，把在(x，t)空间的某个域内关于x，t收敛的级数
K(x，t)=
fn(x)tn
称为函数列{fn(x)}的母函数.例如，二项式系数与勒让德多项式的母函数分别为(1+t)n与(1-2tx+t2)-1/2.对于多元的母函数也可同样定义.若已知{an}或{fn(x)}的母函数，则可以给出an与fn(x)的积分表示.例如，对后一种情形，有
其中积分路径c是以原点为中心，正方向的充分小的圆周可以把母函数关于t解析开拓到幂级数的收敛域以外.由于许多重要的正交函数系的简单母函数是已知的，所以借助于母函数，可以导出数列和函数列的许多重要的解析性质.因此，母函数的方法在数学、计算数学与工程力学中被广泛地应用.当参数不是整数n而是连续变量的情形时，可将母函数作为拉普拉斯变换或傅里叶变换的形式来定义，从而可用拉普拉斯变换或傅里叶变换的性质来进行研究.最早将母函数方法应用到数论的广泛领域中去的是欧拉(Euler，L.)，他首先用母函数方法解决了线性丢番图方程的解数问题.例如，设n为一正整数，若线性丢番图方程
x+2y+5z+10u+20v+50w=n
的非负整数解的个数为An，则根据幂级数的乘法可知，An的母函数就是
并且乘积级数中sn的系数就是An.因此，由泰勒展开定理得
An＝
F(n)(0)
=
n((1-s)(1-s2)(1-s5)
·(1-s10)(1-s20)(1-s50))-1|s=0.
这就是关于An的一般公式.
在理论与应用中十分重要的伯努利多项式也可以用母函数定义.用母函数
text/et-1=
Bn(x)tn/n!
定义的多项式系
称为n次伯努利多项式.由于Bk(0)是
t/et-1=
Bn(0)tn/n!
中tk/k!的系数，所以B0(0)=1，B1(0)=-1/2，B2(0)=1/6，…，B2n+1(0)=0，n≥1.当n≥1时，(-1)n-1·B2n(0)>0，称Bn＝Bn(0)为伯努利数.此多项式具有重要性质：
Bn(x+1)-Bn(x)=nxn-1，
dBn(x)/dx=nBn-1(x).
它们广泛地被应用于插值法等问题中.例如，差分方程
f(x+1)-f(x)=
anxn
的多项式解，就要用
f(x)=
Bn+1(x)+c
给出，其中c是任意常数.特别地，有公式
1n+2n+…+pn＝
.