圆法

英文

Circle method

简介

亦称为哈代-李特尔伍德方法.解析数论中的一个重要方法.1918年，哈代(Hardy，G.H.)与拉马努金(Ramanujan，S.A.)在一篇研究整数分拆的论文中首次提出了圆法，并用圆法导出了无限制分拆函数p(n)的渐近公式.为了研究著名的华林问题及哥德巴赫猜想等问题，1920-1928年间，哈代与李特尔伍德(Littlewood，J.E.)连续发表了七篇论文，系统地发展了圆法.圆法与其他方法相结合，对解决诸如华林问题、哥德巴赫猜想、哥德巴赫-华林问题等各种数论中的困难问题提供了一种强有力的方法.利用圆法常可得到相应问题解法个数的渐近公式，这是圆法不同于其他方法的一大特点.

圆法的思想可以概述如下.设X₁，X₂，…，X_s是任意s个由自然数组成的集合，n是自然数，用R_s(n)表示方程n₁+n₂+…+n_s＝n， n_k∈X_k(1≤k≤s)的解数.若能证明：对所有自然数n≥N，皆有R_s(n)>0，就说明任何自然数n≥N皆是分别取自X₁，X₂，…，X_s的s个数的和.若z为复数，|z|<1，定义

f(z)=f_k(z)，

而

f_k(z)=z^n_k (1≤k≤s)，

则

f(z)=R_s(n)zⁿ，

于是，f(z)称为R_s(n)的生成函数.由柯西积分公式易有

R_s(n)=f(z)z^-n-2dz，

C是圆周|z|=r，0<r<1.从而方程解数的计算就化为复积分的计算问题.当r→1-0时研究此复积分，把积分圆|z|=r分成基本区间E₁和余区间E₂两部分，通常E₁由那些以分母较小的既约分数为中心的小区间所组成.对于很广泛的一类数论问题，相应于基本区间E₁上的那部分积分常给出R_s(n)的主要部分，而相应于余区间E₂上的积分常是比主要部分小得多的余项，适当计算或估计出它们，便可导出R_s(n)的一个渐近公式.1928年，维诺格拉多夫(Виноградов，И.М.)在圆法中引进有限指数和

S_k(α)=e^2πiαm (1≤k≤s)

代替f_k(z)(在一般情形中，f_k(z)常是一个无限和)，利用恒等式

∫¹₀e^2πiαmdα=

得到

这里定义

s(α)=S_k(α).

类似地，把积分区间[0，1]分成基本区间与余区间两部分，可以经适当的计算与估计导出R_s(n)的渐近公式.维诺格拉多夫的这一改进，不仅大大简化了哈代-李特尔伍德的圆法，而且对大量不同类型的问题的解决给出一条统一的途径，它已成为现代圆法的标准形式.