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field and Galois theory
简介
抽象代数中较早出现的代数理论.它来源于代数方程的求根问题.早在伽罗瓦(Galois，E.)研究五次以上方程无根式解中就出现了域，但“域”(Korper)这个名称是戴德金(Dedekind，J.W.R.)首先使用的.系统研究域的理论始于韦伯(Weber，H.)，他证明了克罗内克定理：“有理数域的有限阿贝尔扩域必为分圆域的子域”，而域的公理系统是迪克森(Dickson，L.E.)与亨廷顿(Huntington，E.V.)分别于1903及1905年独立创立的.在韦伯以及亨泽尔(Hensel，K.)的影响下，施泰尼茨(Steinitz，E.)对抽象域进行系统的研究，他的工作于1910年以论文“域的代数理论”公布于世.这篇重要论文对域论及有关学科的发展产生了极大的影响.
域的扩张理论源于数域的扩张，复数域上任意n次方程在复数内有n个根，即代数基本定理，而对一般域F，若F上任意n次方程都有n个根，则称F为代数闭域.对于特征为p>0的域，不可约多项式也可能有重根，这就引出可分多项式，不可分多项式与可分、不可分扩域的概念.另一方面由于超越数的存在，在一般数域上也出现了代数元与超越元，从而产生超越扩张的概念和理论.施泰尼茨的一个基本结果是，每一个域都可以从它的素域出发，经添加超越元得到一个超越扩张，然后再添加代数元而得到(参见“纯超越扩张”).
域的扩张理论与伽罗瓦理论紧密相关.它的基本思想是：用域的自同构群来研究域的构造，建立了可分正规扩域的子域和它的自同构群的子群间的一一对应关系，由方程的伽罗瓦群的可解性去判别该方程是否有根式解，从而得出大于四次的一般代数方程不能用根式解.