行列式映射

英文

determinant map

简介

交换环的K₀到皮卡群的一种映射.设R为交换环，行列式映射为K₀(R)到Pic R的一个群的满同态.由K₀(R)对H₀(R)的分解式K₀(R)H₀(R)⊕rK₀(R)知，有单同态θ：H₀(R)→K₀(R)，使对任何f∈H₀(R)：Spec R→Z，都有相应于f的正交幂等元分解1=e₁+e₂+…+e_r.若f(D(Re_i))=n_i，其中D(Re_i)为不包含Re_i的R之素理想集合，则

θ(f)=n_i[Re_i].

记m_i＝{n_j}-n_i.对任意的有限生成投射R模M，若

N=M⊕((Re_i)^m_i)

且[M]↦〈∧ⁿN〉，其中∧ⁿ表n次外乘幂而n=n_j，则有行列式映射det：K₀(R)→Pic R，其中Pic R为R的皮卡群.行列式映射det也是函子K₀和Pic间的自然变换，即g：R→S为环同态时，

det°K₀(g)=Pic(g)°det.