正合函子

英文

exact functor

简介

阿贝尔范畴间的一种重要的函子，即保持短正合列的函子.设F：C→D为阿贝尔范畴间的一个共变函子.若对C中任意的正合列

0→ABC，

有　　　　　　　　　　　　　　　　　0→FAFBFC

是D中的正合列，则称F为左正合函子.若对C中任意的正合列

ABC→0，

有　　　　　　　　　　　　　　　　　FAFBFC→0

是D中的正合列，则称F为右正合函子.同时为左正合与右正合的函子称为正合函子.对偶地，可定义反变函子的左、右正合性与正合性.若F为左(右)正合函子，则F变单(满)态射为单(满)态射且对任意的态射β，

F(ker β)ker F(β)，

(F(cokerβ)cokerF(β)).

左、右正合函子一定是加性函子.

在同调代数的基本函子中(M表R模)，Hom(M，-)为左正合函子(它正合的充分必要条件是M为投射R模);Hom(-，M)为左正合反变函子(它正合的充分必要条件是M为内射R模);M-与-N(M为右R模，N为左R模)都是右正合函子(它们正合的充分必要条件是M(N)为平坦R模);阿贝尔范畴中正向极限函子(反向极限函子)为右(左)正合函子.对二元函子F，若F关于它的两个变元都是正合的(或左正合的、右正合的)，则称F为正合的(或左正合的、右正合的)二元函子.