韦伊猜想

英文

Weil conjecture

简介

代数几何中的一个重要问题.1934年，德国数学家哈塞(Hasse，H.)证明了椭圆曲线上的黎曼猜想.到了20世纪40年代，法国数学家韦伊(Weil，A.)证明了关于代数域上的黎曼猜想，并由此提出了一般簇的黎曼猜想，即著名的韦伊猜想：设k是具有q个元素的有限域，V为在k上定义的n维非奇完备代数簇，设k的m次扩张为k_m及坐标取自k_m中的V的点的个数为N_m，则由

ln Z(u，V)=N_mu^m-1

及初始条件Z(0，V)=1所定义的u的函数Z(u，V)，称为有限域k上的代数簇V的同余ζ函数，则：

1.Z(u，V)是u的有理函数.

2.Z(u，V)满足一个函数方程，它与黎曼ζ函数所满足的函数方程相类似.

3.Z(u，V)的零点的绝对值是q^–的奇数次幂，极点的绝对值是q^–的偶数次幂.

4.设V⁽⁰⁾是在某个有限次代数数域K上定义的非奇的完备代数簇，且V⁽⁰⁾模约化为V，如果V⁽⁰⁾(作为2n维的实解析代数簇)的h维贝蒂(Betti)数为B⁽⁰⁾_h，则有B⁽⁰⁾_h＝B_h(h=0，1，…，2n).

1949年，韦伊猜想一提出，就吸引了许多著名数学家.到了20世纪60年代，这一猜想成为代数几何学的中心问题，人们为解决猜想引进了许多新工具，发展了一些新的理论.韦伊本人证明了上述猜想的一些重要特殊情形.1960年，德沃克(Dwork，B.)证明了猜想1;法国数学家格罗腾迪克(Grothen-dieck，A.)为了证明韦伊猜想而拟订了一个庞大的代数几何研究计划，他证明了猜想1和2;比利时数学家德利涅(Deligne，P.)受他的老师格罗腾迪克的影响，基本上按照他制定的研究方向加以延伸和发展，并以其广博的知识、敏锐的思想，于1973年证明了全部猜想.由此发展出一系列重要结果，是20世纪70年代纯数学领域中取得的最辉煌成就之一，1974年，德利涅获比利时皇家科学院颁发的法郎士·德儒茨奖，1978年荣获菲尔兹奖.