劳思方程

英文

Routh equation

简介

一种拉格朗日方程形式的动力学方程.指加拿大数学家劳思(Routh，E.J.)应用广义动量积分把拉格朗日方程降阶，导出了新的且仍保持拉格朗日方程形式的动力学方程.一个有N个自由度的保守系统，它有N个广义坐标q_i (i=1，2，…，N).但在这个系统的拉格朗日函数L中，通常缺少某些坐标，设为q₁，q₂，…，q_k (k<N)，这些坐标称为循环坐标.对应于循环坐标有广义动量积分

引入劳思函数

R(q_k+1，q_k+2，…，q_N; q·_k+1，q·_k+2，…，q·_N;

　β₁，β₂，…，β_k)=L-q·_i，

就可导出劳思方程

–＝0 (j=k+1，…，N).

上式的形式同保守系统的拉格朗日方程一样，但是式中只有2(N-k)阶，已降低2k阶，达到了降阶的目的.缺少的循环坐标可用下列积分求出

q_i＝-∫dt (i=1，2，…，k).

例如，用平面极坐标(r，θ)求解平面中质点的辏力的运动问题时，力心选作原点，

式中L不显含θ，所以θ是循环坐标.循环积分为

劳思函数为

R=L-θ·＝mr·²–-V(r).

代入劳思方程

得

从上式解出r(t)后，利用(1)式得

于是可得r与θ关于时间的解函数.