量子力学微扰论

英文

perturbation theory in quantum mechanics

简介

求解薛定谔方程的一种近似方法.对具体的物理问题的薛定谔方程，由于体系的哈密顿算符比较复杂，往往很难求出方程的精确解.这时可以通过量级分析忽略次要因素的办法获得简化的方程，对它可求得精确解，再由此出发把略去的次要部分对系统的影响逐级考虑进去，从而得出逐步接近于原问题精确解的各级近似解，这就是微扰论的思想.对于哈密顿量H不显含时间的体系，其不含时间的薛定谔方程为

若

其中H^₀是未受微扰的哈密顿算符(主要部分)，H^′为微扰项(次要部分)，｜λ｜≪1，λ为表示微扰强度特征的小参数.当H^₀的本征方程

已解出，且E⁽⁰⁾_k是未受微扰体系的能量，ψ⁽⁰⁾_k是与之相应的不简单的波函数.则当考虑到H^′的作用后，体系的能量和波函数可按λ的幂次作微扰展开：

E=E⁽⁰⁾+λE⁽¹⁾+λ²E⁽²⁾+…，　　　　　(4)

ψ=ψ⁽⁰⁾+λψ⁽¹⁾+λ²ψ⁽²⁾+…，　　　(5)

当λ=0时，有H^＝H^₀，E=E⁽⁰⁾，ψ=ψ⁽⁰⁾.将(4)，(5)代入(1)，按λ幂次可得一系列确定E⁽⁰⁾，ψ⁽⁰⁾，E⁽¹⁾，ψ⁽¹⁾，…的等式.λ的幂次标志着数量级的大小，而E⁽⁰⁾，ψ⁽⁰⁾分别是E，ψ的零级近似能量和波函数，它们已由式(3)求出，由零级近似解及H^′，可得到一级修正值E₁，ψ⁽¹⁾，也即求得一级近似解E⁽⁰⁾+E⁽¹⁾，ψ⁽⁰⁾+ψ⁽¹⁾，以此类推，可逐步求出高级近似解.可验证n级近似的能量等于H^对于归一化的(n-1)级近似波函数下的平均值.

当体系的哈密顿量显含时间时，代替求解定态的薛定谔方程，这时要求解含时间的薛定谔方程.这种微扰论称为含时间的微扰论.微扰论的特点是：微扰项对未受微扰体系的解影响很小，可通过逐级近似求解.