8.2.1.1 单个颗粒在流体中的沉降
流体中的固体颗粒除沿力场的作用力方向运动外，还随流体的运动方向运动。因此， 在实际的沉降过程中可能会出现一维、二维或三维运动情况。在沉降槽中静置悬浮液中 的固体颗粒沉降为一维运动;在一端进料，另一端出料的连续沉降槽中，固体颗粒在运动 流体中的沉降为二维运动;在沉降离心机或旋流器中，颗粒在旋转流体中的沉降为三维 运动。
由于固体颗粒的有效运动是沿力场的作用力方向的运动，因此，从工程实用观点出 发，就限于阐述固体颗粒沿力场作用力方向的一维运动。
(1) 单个球形颗粒在静止的无限液体中的沉降 固体颗粒在液体介质中沉降时，要 受到介质阻力的影响。在重力场中沉降时，最初阶段为加速运动，所受的介质阻力随速度 的增加而增大。当阻力增大到与重力相等时，颗粒的沉降速度成为恒速，称为最终沉降速 度。最初的加速阶段很短，因此工程计算时，此加速阶段可忽略不计。
由于各种颗粒的密度和粒度以及液体介质的密度和黏度不同，沉降速度也各不相同， 引起颗粒周围液体扰动的流型也有所不同。一般将流型分为三种：层流型、过渡型、湍流 型。由于三种流型的阻力规律不同，因此沉降速度的计算公式也不同。
用零幂量纲准则K判别三种流型
(8-2)
式中 K–为阿基米德准则的立方根，表明因重力和两相密度差引起的浮力对沉降的影响
d–固体颗粒直径，m g–重力加速度，m/s2
ρs、ρf–分别为固体和液体的密度，kg/m3
μ–液体的黏度，Pa·s
各流型的K值范围见表8-1。
表8-1 由流型决定的b和n值
| 流 型 | K | b | n |
| 层流型
过渡型 湍流型 |
K<3.3
3.3≤K≤43.6 K>43.6 |
24.0
18.5 0.44 |
1.0
0.6 0 |
单个球形颗粒在无限的静止液体中的最终沉降速度u可用下式计算
(8-3)
式中符号意义同上式，常数b和n由流型决定，见表8-1。
三个流型区的最终沉降速度的计算公式如下：
层流区，斯托克斯(Stokes)公式：
(8-4)
过渡区，阿伦(Allen)公式：
(8-5)
湍流区，牛顿(Newton)公式：
(8-6)
上述公式是假定颗粒以一定速度在静止流体中运动计算的沉降速度又称为固体颗粒 对液体的相对沉降速度。而工程中常见的情况是流体也以一定速度运动。这时，颗粒的 绝对沉降速度是上述公式计算速度与流体在流动方向分速度的合成速度。
(2)单个球形颗粒在有限的静止液体中的沉降 实际的颗粒沉降分离过程是在沉降 槽或浓缩槽中进行的，当颗粒直径d与容器直径D的比值较大时，应考虑容器壁对沉降 速度的影响，特别是在实验室用量筒或试管离心机进行沉降实验时，更应考虑器壁的影响。 这种情况下，沉降速度计算公式应加以修正。考虑器壁影响的沉降速度uω按下式计算：
uω＝η1u (8-7)
修正系数η1按下式计算：
层流型：
(8-8)
过渡型：
(8-9)
湍流型：
(8-10)
当d/D<0.005时，器壁对沉降速度的影响小于千分之一，可不予考虑。
(3) 非球形颗粒的沉降 非球形颗粒与同体积的球形颗粒相比，表面积较大，在沉降 过程中所受到的阻力也较球形颗粒的大。在工程中，非球形颗粒的沉降速度仍用上述公 式计算，但公式中的d值须采用非球形颗粒的当量直径de值或采用实测值。
实验室测定的颗粒尺寸及其分布，由于测量方法不同，所得结果略有差异。用重力沉 降法和离心沉降法所得颗粒尺寸称为斯托克斯直径dst，又称水力直径。用dst作为de代 入沉降速度公式进行计算，所得结果最为接近实际情况。
若颗粒的几何形状比较规则，可按表8-2确定其当量直径。
表8-2 几种典型形状颗粒的当量直径de
8.2.1.2 颗粒群在流体中的沉降
颗粒在液体中的沉降过程将引起周围液体的扰动。在颗粒周围，液体的移动包括两 部分，一部分随同颗粒向下移动，另一部分则向相反方向移动，如图8-1所示。
因此，悬浮颗粒群的沉降会出现颗粒间的相互影响。如果固相浓度极低时，颗粒间的 相互影响很小，可视为单个颗粒的自由沉降。但固相浓度增大时，会形成干涉沉降，颗粒 间的相互影响不能忽视。此外，浓度增大后还应考虑以下增大干涉效应的因素：
(1)
(2)
图8-1 容器中颗粒的沉降
(1)颗粒周围部分液体的反方向移动 (2)颗粒周围液体的速度分布
①悬浮液的表观黏度将随浓度的增大 而提高;
②液体上升的横截面积的减少，提高了 液体的上升速度;
③容器壁对颗粒沉降的阻滞作用增大;
④沉降推动力降低为固相颗粒密度ρs 与悬浮液表观密度ρφ之差，即：
ρs-ρφ＝ρs-[φρs+(1-φ)ρf]=(ρs-ρf)(1-φ) (8-11)
式中 φ–悬浮液中固相容积浓度，为悬浮液中所含固相的容积与悬浮液容积之比，以体积分数表示
这种情况下，颗粒群的干涉沉降速度uφ可用下式计算：
uφ＝η2u (8-12)
式中 u–单个颗粒的沉降速度
η2–干涉沉降影响系数，它是固相容积浓度φ的函数，一般由实验确定。其结 果见表8-3。由于各研究者的实验条件及实验物料的不同，所得η2值表达 式和适应范围有差异
表8-3 颗粒群干涉沉降影响系数η2
* d为颗粒直径，D为容器直径。
(1) 最大通量密度 通量密度是指单位沉降面积上单位时间内流过的固体量，按容 积计时，通量密度φs为：
φs＝φuφ＝φη2u [m3悬浮液/(m2沉降面积·s)] (8-13)
对于特定物料和分离要求而言，u是定值，故通量密度是固相颗粒容积浓度φ的函数。 由此可求得最大通量密度下的最宜浓度φ值，以供实际固-液分离操作中调节进料浓度 时参考。 例如η2＝(1-φ)n时，由下式：
解出φ＝1/(1+n)。当n=4.65时，最宜浓度值，φ＝0.177。此时，最大通量密度为：
φs，max＝φ(1-φ)nu=0.0715u
(2) 临界颗粒直径 悬浮液的固相粒度分布中能被全部分离的颗粒中的最小颗粒直 径，称为颗粒群中的临界直径dc。实际生产 中悬浮液的固相颗粒群由不同尺寸的颗粒组 成，粒度分布是多分散性的。在沉降操作中悬 浮液被分离为沉渣和分离液。进料悬浮液和 出料分离液中固相颗粒的微分粒度分布曲线 分别为f(d)和ft(d)，如图8-2所示。曲线 f(d)下方面积表示悬浮液中固相量，而两曲 线上、下方之间面积表示沉渣(或底流)固相 量。从图中可以看出，直径大于和等于临界直 径dc的颗粒全部进入沉渣，小于dc的颗粒有50%的概率进入沉渣，50%的概率留在分 离液中的颗粒直径，称为分割点直径d50。对于某一定悬浮液而言，dc值并非固定不变， 它与分离要求和分离设备性能有关，其间的关联式，对于层流流态可写成：
(8-14)
式中 qv–悬浮液的进料流量，即分离设备的生产能力，m3/s
A–分离设备的沉降面积或当量沉降面积，m2
其余符号同前。
图8-2 悬浮液和分离液中固相 微分粒度分布曲线图
在实际的工程应用和设计中，可根据悬浮液处理量和分离液澄清度或固相回收率确 定dc，计算出所需的沉降面积;对已有设备的校核计算时，根据分离设备沉降面积，可确 定相对应的φ和dc值。从式(8-14)可看出，对于一定的分离设备，提高生产能力φ将使 dc值增大，从而使分离效果降低和分离液中固相含量增加。
8.2.1.3 总分离效率和级效率
(1) 总分离效率 总分离效率是指悬浮液中的固相回收率Ets或液相脱除率EtF。 由于在生产或实验中易于取得悬浮液、沉渣和分离液的浓度数据，故多据此求取总分离 效率。
设悬浮液的进料质量流量为qm，经分离后的沉渣质量流量为qm，c，分离液质量流量 为qm，f;三者的固相质量分数分别为ω、ωc、ωf(以小数表示)。则下列物料衡算等式 成立：
总物料平衡：
qm＝qm，c+qm，f
固相物料平衡：
qmω＝qm，cωc+qm，fωf
液相物料平衡：
qm(1-ω)=qm，c(1-ωc)+qm，f(1-ωf)
根据以上三式可求得：
沉渣与悬浮液的比例为：
分离液与悬浮液的比例为：
固相总分离效率分别按以下公式计算固相回收率，按定义为：
(8-15)
液相脱除率，按定义为：
(8-16)
(2)综合分离效率Ec 只有较高的固相回收率或液相脱除率不一定有较好的分离 效果。对于增稠的沉降操作，较好的分离效果，不但应有较高的固相回收率Ets，而且还 必须使沉渣含液量低。沉渣中带走的液量与原料悬浮液中液体量的比率称为沉渣带液率 Ws，按下式计算：
(8-17)
因此，最佳的分离效果应是Ets接近于1，而Ws接近于0。于是，判断分离效果好坏的应 是(Ets-Ws)，称为综合分离效率Ec：
(8-18)
对于澄清的沉降操作，不但液相脱除率EtF要高，而且分离液中夹带的固相要低，才能得 到较好的分离效果。分离液夹带的固相量与原料悬浮液中固相量之比称为分离液中固相 带失率Wf：
(8-19)
此时，综合分离效率Ec＝EtF-Wf，其结果与式(8-18)同。
(3) 级效率Eg 级效率又称部分分离效率，是指悬浮液的多分散性的固相颗粒群中 各级尺寸颗粒的分离效率。设颗粒群的尺寸分布是d1、d2…dc………dm，通过分离后， 大于临界直径dc的颗粒全部回收，其Eg＝100%=1，从d1到dc的颗粒只能部分分离回 收，其级效率的值在0与1之间即Eg=0→1， 如图8-3所示。
设悬浮液、沉渣、分离液中的固相质量分别为 m、mc和mf，则
m=mc+mf
对任一直径di(i=1、2……c……m)颗粒的物 料衡算：
(m)di＝(mc)di+(mf)di
式中三符号分别表示直径为di的颗粒在悬浮 液、沉渣和分离液中的质量含量。于是，根据级效率定义得：
(8-20)
图8-3 级效率Eg曲线
式中 f(di)和fc(di)–分别表示悬浮液和沉渣中所含直径为di的颗粒的百分率，亦 即两者粒度分布中所占百分率
考虑到mc/m实则是固相回收率Ets，故上式可写成：
(8-20a)
级效率对于评价分级效果是很有用的。从图8-3可以看出，级效率曲线越陡，分级 越明显，分级效果越好。设d25，d50和d75分别为级效率等于0.25、0.50、0.75的颗粒直 径，其中d50又称分割点直径，它与临界直径dc是固、液分离中判断分级和分离效果的两 个重要颗粒直径。级效率曲线的陡削度用下式表示
H值越大，曲线越陡，分级越明显。
8.2.1.4 重力沉降基本原理
重力沉降方法常用于悬浮液的澄清和浓缩操作。澄清操作用于获得澄清的(含固量 极少的)液体，例如果汁、酒类、加工废水的澄清。浓缩操作用于获得含固量较多的浓缩 液，例如淀粉浆的沉淀、增稠。因为食品工业生产中悬浮液种类繁多，性质差别较大，不易 取得粒径及相对密度数据的情况较多，在此情况下需以实验方式测得沉降速度，并据此进 行设计。
(1)沉降状态与沉降曲线 悬浮液中的固体颗粒群在沉降过程中可能出现四种沉降 状态。
第一种为自由沉降，悬浮液浓度极低时，颗粒间距离较大，各颗粒以各自的沉降速度 自由沉降，速度较快的颗粒可超过速度较慢的，会出现碰撞，若两者凝聚，将以更大速度沉 降，上层液体逐渐变清。
第二种为干涉沉降，又称集合沉降，悬浮液浓度较大时，颗粒间距离较小，相互制约而 以同一速度沉降，清液层与悬浮层之间有明显界限。
第三种为分层沉降，即同时存在上述两种沉降状态，中等浓度的悬浮液沉降一短暂时 间后，下层浓度增加，出现干涉沉降，上层浓度变稀，处于自由沉降状态。
第四种为压缩沉降，这时颗粒群已沉降在一起，靠颗粒自身重量挤压下层颗粒之间的 间隙并挤出下层颗粒间隙空间中的液体。
沉降的曲线是以沉降时间为横坐标，清液与悬浮液的界面高度为纵坐标，根据沉降试 验数据而作出的相应曲线。它表示了界面高度与沉降时间的函数关系。图8-4(1)是存 在第二和第四沉降状态的沉降过程曲线。图中(2)为只存在第二和第四两种状态的沉降 过程及其沉降曲线。它表示了界面高度与时间的函数，也反映了界面的下降速度。图中(1)曲线最初的小弧线段表示有短时间的自由沉降状态，从a到b的直线段是集合沉降状 态下的等速阶段，b以后为压缩沉降状态的降速阶段，b点称为临界点。集合沉降状态的 沉降速度受浓度的影响较大，见公式(8-12)和表8-3。浓度不同，沉降曲线的斜率也不 同，如图8-4(2)所示。
(1)
(2)
图8-4 沉降状态示意图和沉降曲线图
(2) 影响沉降速度的因素 多数沉降过程是在层流区内进行。根据层流区域内的斯 托克斯定律，从理论上可对影响沉降速度的因数作如下的分析：
①颗粒直径： 理论上沉降速度与粒径的平方成正比。粒子愈大，沉降就愈快，反之 则愈慢。食品生产上的均质乳化处理是使悬浮颗粒或液滴微粒化，减慢沉降速度，达到制 品稳定，不易沉淀或分层的目的，例如牛乳和果汁的均质处理。另外，在食品加工中，有时 也采用适当措施增大颗粒直径，以达到迅速沉降使制品澄清的目的。例如，通常食品悬浮 液多少具有胶体性质，如加热有可能产生絮凝作用，其结果使微粒增大而容易沉淀析出。
②分散介质黏度： 沉降速度与介质的黏度成反比。有时悬浮液难于用沉降法分离， 主要原因是黏度过大。例如果汁因果胶存在而黏度高，可加酶制剂分解果胶以降低黏度 来改善澄清的操作。用加热的方法也可降低黏度加快沉降速度。但加热法的缺点是容易 产生对流而干扰沉降。
③两相密度差： 沉降速度与两相密度差成正比。但在悬浮液的沉降分离过程中，其 值是难以改变的。
④沉降设备尺寸、形状和壁效应的影响： 容器直径与颗粒尺寸之比小于200时，应 考虑壁效应，用式(8-7)计算。设备的高度对沉降速度无影响，但对高浓度悬浮液，设备 应有足够的高度来提供容纳沉渣的空间。若设备器壁是垂直的，且其横截面积不随高度 而变化时，容器形状对沉降无影响，但若横截面积是变化的或器壁是倾斜的(如倾斜板沉 降槽)，则应考虑它们对沉降过程的影响。
(3) 间歇沉降的规律 直接由悬浮液的固、液两相性质，从理论上求得沉降的解析关 联式尚未成功。但有不少研究人员在实验的基础上提出了工程设计所需的沉降速度计算 关联式。
① 沃克-科勒(Work-KoHLer)关联式： 沃克-科勒关联式用来表示初始浓度相同 的悬浮液，在初始高度不同(H0和H0′)情况下两沉降曲线间的关联式，如图8-5所示， 其关联式如下：
(8-21)
此关联式用于在以实验求得的沉降速度来计算沉降装置的高度及沉降时为等速沉降 阶段的情况。
② 罗伯特(Roberts)关联式： 罗伯特关联式 是表示压缩阶段沉降曲线的实验式，压缩段的沉 降速度表示为：
(8-22)
式中 H∞–放置无限长时间后界面的高度
设压缩段开始时的高度为Hc、时间为tc，到 时间t时的高度为H，则上式积分后可得Roberts 关联式：
(8-23)
式中 k1–取决于悬浮液性质的实验常数
图8-5 沃克-科勒关联式曲线图