H∞空间

英文

H_∞-space

简介

亦称哈代空间.是一种函数空间.它是由在右半开复平面内解析的矩阵值函数的全体组成的函数空间，其定义为

H_∞{G(s)：G(s)在Re(s)>0解析，且

σ–(G(s))<∞}，

其中

‖G‖_∞＝σ–(G(s))

为G(s)的H_∞范数，σ–(·)表示矩阵的最大奇异值.记RH_∞⊂H_∞为在右半闭复平面内解析的真实有理函数矩阵的全体.对于给定的m×n阶复的矩阵值函数G(jω)，定义

‖G‖_∞＝ess σ–(G(jω))

为G(jω)的L_∞范数，其中“ess sup”表示本质上确界(即除去ω的一个零测子集之后的上确界).称集合

L_∞{G(s)|‖G(s)‖_∞<∞}

为L_∞空间.记RL_∞⊂L_∞为真实有理且在虚轴上无极点的矩阵的全体.若G(s)∈RH_∞，那么可以把G(s)看作是某个定常线性系统的传递函数矩阵，则对所有的u(s)∈L₂或H₂，都有G(s)u(s)∈L₂或H₂，并且

‖G‖_∞＝‖G(s)u(s)‖₂，

即G(s)的H_∞范数和它的诱导算子范数相等.上式右端‖·‖₂是对应空间L₂或H₂范数.