数学百科

主点

2023-06-12

英文

principal point

简介

多仿射映射下多项式族稳定性检验的一个重要概念.设z1,z2为两个非零复数,如果Im(z2/z1)>0,则记z1≺z2;如果Im(z2/z1)≥0,则记z1⪯z2;如果Im(z2/z1)=0,则记z1 )(z2.

考虑多仿射映射f:Bm→C,其中C为复平面,

并且f(x1,x2,…,xm)为x1,x2,…,xm的多仿射函数,即

f(x1,x2,…,xk+γ,…,xm)
-f(x1,x2,…,xk,…,xm)

    =γ(x)γGk(x)

(k=1,2,…,m).

对于x∈Bm,定义下面三个指标集:

1.Ia={i|ai=xi};

2.I0={i|ai<xi<bi};

3.Ib={i|xi=bi}.

对x∈Bm,如果存在非零复数G,使得

Gi(x) )(G, ᗄi∈I0; Gi(x)⪯G⪯Gk(x),

ᗄGi≠0, i∈Ia; Gk≠0, k∈Ib

则称x为一个主点.设z∈∂f(Bm),则一定存在一个主点x,使得z=f(x).对于一个多项式族

P(s)=p(s,x)|p(s,x)=ai(x)si,x∈Bm

其中ai(x)(i=0,1,…,n)是Rm到R的多仿射函数,其稳定性可通过寻找其值映射下的主点集来判定.如果主点集都在其突出棱边上,则棱边检验结果成立.一般情况下棱边检验不能保证全族的稳定性.对于一些特别的系统,可找到一些主边和主节,这些主边和主节的稳定性可保证全族的稳定性.