拉梅函数

英文

Lamé function

简介

n为非负整数时，拉梅方程

的多项式解.由于拉梅方程是富克斯型方程，有四个正则奇点：s=0，1，h和∞，前三个奇点的指标都是0和1/2，而奇点∞的指标则为-n/2和(n+1)/2，因此，考虑到在0，1，h处的奇异性，不妨将拉梅方程的解写成

s^ρ(s-1)^σ(s-h)^τa_ks^k

的形式.当H取某些特定值时，无穷级数可以截断为多项式.在这些多项式解中，

E^m_n(s)=a_ks^ρ+k，

ρ=

有[n/2]+1个(对应于H的[n/2]+1个特定值)，称为第一类拉梅函数.第二类和第三类拉梅函数的形式是

E^m_n(s)=(s-1)^1/2b_ks^ρ+k，

E^m_n(s)=(s-h)^1/2c_ks^ρ+k，

ρ=

各有[(n+1)/2]个，第四类拉梅函数的形式是

E^m_n(s)=[(s-1)(s-h)]^1/2d_ks^ρ+k，

ρ=

有[n/2]个.这四类拉梅函数总称第一种拉梅函数(亦称拉梅多项式)，共2n+1个，对应于H的2n+1个特定值.这时拉梅方程的另一解(当然也共有2n+1个)为第二种拉梅函数.

如果将拉梅方程写成外尔斯特拉斯形式，相应的第一种拉梅函数记为E^m_n(p)，p=P(u)，则第二种拉梅函数可以表示为

上面介绍是的拉梅函数的一种分类法.在其他文献中还有别的分类法.