奇异值

英文

singular value

简介

与矩阵相联系的一组非负实数.对于任一m×n复矩阵G，存在m×m酉矩阵U以及n×n酉矩阵V，使得

这里上标“*”表示共轭转置，D为m×n实对角矩阵并具有形式

其中D_r＝diag (σ₁，σ₂，…，σ_r)，且σ₁≥σ₂≥…≥σ_r>0.称矩阵D的对角线上的元素为矩阵G的奇异值;称σ₁，σ₂，…，σ_r为矩阵G的正奇异值.通常，记σ–＝σ₁，＝σ_r.

称(1)式为G的奇异值分解.一个矩阵的奇异值是惟一确定的，但矩阵U，V则不惟一.当G是实矩阵时，可选U，V为实的正交矩阵.利用奇异值分解可以定义矩阵的条件数cond(G)=σ–/≥1，可以构造矩阵的一种“伪逆”.另外，

这里x为任意n维向量.由此可见，σ–给出了矩阵G作用于各向量上所可能产生的范数放大倍数的上界.

奇异值分解对于鲁棒控制系统的分析与设计有重要作用.