分维

英文

fractal dimension

简介

亦称分形维.描述几何形体复杂度的一种数学概念.指数值可取为分数的维数概念.它是反映该对象所包含点集数量或疏密程度的一种定量度量，从而为某些复杂几何对象(粗糙、破碎和不规则的几何对象，如分形)提供了其他方法不能明确定义的一些性质的测度.

曼德勃罗特(Mandelbrot，B.B.)在其奠基性著作中考察了英国海岸线有多长的问题.这个问题看似简单，实际上并不容易回答，因为其答案依赖于测量时所使用的尺度单位.当人们用公里作测量单位时，千米以内的曲折将被忽略;同样，用米或更小的度量单位时，更小的曲折亦不能被反映出来.在实际测量中，海岸线长度测量单位不能太大(如光年)，亦不能太小(如分子级尺度)，在这两个自然限度之间存在着若干个数量级的区域，在该区域内，实际测量结果将随测量单位的缩小而变大.显然，长度不是海岸线等分形曲线长短或曲折程度恰当的定量特征，而这种用普通概念和方法无法进行度量的区域称为“无标度区”.

为了更好地理解上面的说明，下面考察数学家寇赫(Koch， H.Von)构造的寇赫岛中的“海岸线”问题.将边长为1的正方形按上图的形式进行变换并保持面积不变，则一个正方形变成36个边长为1/6的正方块.若将谢尔品斯基地毯中每个正方形再按图中的方式变换下去(参见“分形”)，则所得到的图形中的正方块的数目将更多，其“海岸线”(总边长)亦越长.不断变换下去，则得到了寇赫岛，它的海岸线将变得无限曲折，而其边长为无穷.对于寇赫岛这样的几何对象，长度不能说明其任何性质，而分数维数则是它的更确切的特征量.按照德国数学家豪斯多夫(Hausdorff，F.)的维数定义，由于测量尺度每缩小6倍(边长每经一次变换缩小6倍)，寇赫岛的海岸线长度增加了18倍，因此其豪斯多夫维数为

D₀＝＝≈1.613147.

显然D₀要大于普通的曲线维数1.

早在1919年，数学家豪斯多夫曾提出了分形维数的概念，但这个概念直到20世纪70年代才开始受到物理学家的重视，并被用来处理无标度性问题.近20年来，随着复杂现象研究的不断深入，各种形式的分数维数得以定义并被深入探讨.目前已有严格定义的分数维数，包括豪斯多夫维D₀、信息维D₁、关联维D₂、一般分维D_q(q为整数)、李亚普诺夫维等.它们可统一定义如下：用N个直径为ε的小球覆盖点集X，令P_i记一个点落在第i个ε球内的概率，若存在极限

D_q＝·lnP^q_iln ε，

则D_q称为X的一般分数维数.

可以证明，当q=0，1，2时，D_q分别为D₀，D₁，D₂.进一步地，D_q系列的分数维数满足不等式

　　　　d≤D₂≤D₁≤D₀，　(1)

　　　　D_q≤D_q′，若q>q′，　(2)

式中d为相应的拓扑维数.根据式(1)，分维可定性地定义为一几何对象的维数D是分维，若它满足条件d≤D，式中d为相应的拓扑维.

从实验数据中提取和计算分维是分形几何理论的近期发展.通过对分维的计算，人们有可能从少数数据中获得许多复杂现象中的某些规律性结果，并开展对其演化运动的建模与分析.