双曲奇点

英文

hyperbolic singularity

简介

C¹向量场有局部结构稳定性质的奇点，它的常见定义是在一般黎曼流形上给出.设X是黎曼流形M上的C¹向量场，p∈M是X的奇点.若DX(p)：T_pM→T_pM是双曲线性向量场，则称p为双曲奇点.在一般巴拿赫空间中，它的定义是：设(E，‖·‖)是巴拿赫空间，U⊂E是开集，p∈U是U上C¹向量场X的奇点.若DX(p)：E→E是双曲线性场，就称p是X的双曲奇点.在局部坐标卡下，前一定义是后一定义的特款.在E=R²是二维欧氏空间时，双曲奇点称为渊、源或鞍点(如图).

渊点

源点

鞍点

对双曲奇点，也有描述它的动力性质的等价性定义.例如，对流形M上的C¹向量场X，其定义是：设X导出的流是

p是X的奇点，如果存在T_pM在Φ_t下不变的直和分解T_pM=E^u_p⊕E^s_p，Φ_tE^u_p＝E^u_p，Φ_tE^s_p＝E^s_p，而且存在常数c>0，λ<0使得：

　‖Φ_t(η)‖≤c‖η‖exp(λt) (ᗄη∈E^s_p及t≥0)，

　‖Φ_t(ξ)‖≤c‖ξ‖exp(-λt) (ᗄξ∈E^u_p及t≤0)，

这里‖·‖是切向量就M上的黎曼度量的模，那么p就称为X的双曲奇点.紧致流形上的奇点都是双曲的C¹向量场集合(含设有奇点的C¹向量场)在全体C¹向量场空间中开稠.