英文
Bertrand’s paradox
简介
一个几何概率名题.在一半径为r的圆C内“任意”作一弦，试求此弦长度l大于圆内接等边三角形的边长
r的概率p.其解法分别如下面三种情形：
1.以r/2为半径作圆C的同心圆C1(图1)，可以证明，弦AB的中点M落在圆C1内的充分必要条件为l>
r.故由几何概率公式知，所求概率p等于二圆面积之比，即
2.设弦AB的一端A固定于圆周上，于是，弦的另一端B是“任意”的.考虑等边三角形△ADE(图2)，l>
r的充要条件为B落于角EAD所对的弧
上.故p=
的弧长圆周长=
. 3.设弦AB垂直于直径EF，AB的中点M落在线段GH(图3)上的充分必要条件为l>
r，因此
这里，对“任意”(即几何概率定义中所要求的“均匀性”)的三种不同解释，得出了三个不同的结果.问题在于“任意作弦”的提法不明确.