傅里叶变换

英文

Fourier transform

简介

解偏微分方程定解问题及偏微分方程理论研究中常用的积分变换.f(x)的傅里叶变换为

F[f(x)]=f^(ξ)=∫^+∞_-∞f(x)e^-iξxdx，

傅里叶变换的反演公式为

f(x)=F^-1[f^(ξ)]=∫^+∞_-∞f^(ξ)e^ixξdξ.

如果f(x)连续且分段光滑并且在(-∞，+∞)内绝对可积，那么它的傅里叶变换存在，且反演公式成立.

傅里叶变换的性质有：

1.F[af+bg]=aF[f]+bF[g](a，b是常数).

2.F[f*g]=F[f]·F[g]，其中f*g表示f与g的卷积，由下式定义

　　(f*g)(x)=∫^+∞_-∞f(y)g(x-y)dy.

3.F[fg]=F[f]*F[g].

4.F[f′(x)]=-iξF[f(x)].

5.∫^+∞_-∞|f(x)|²dx=∫^+∞_-∞|F[f]|²dξ.

6.F[f(x-x₀)]=e^ix₀ξf^(ξ).