临界点

英文

critical point

简介

泛函费雷歇导数的零点，亦即函数导数的零点的推广.椭圆型方程的弱解常常是相应泛函的临界点.设D是实巴拿赫空间X中的开集，泛函f：D→R¹在D上具有弗雷歇导数.若x₀∈D，使得grad f(x₀)=f′(x₀)=θ， 则称x₀是泛函f(x)的一个临界点，c=f(x₀)称为f(x)的一个临界值.这里θ是从X到R¹的零映射.设Ω是n维有界区域，f∈L²(Ω)，则X=W^1，2₀(Ω)上的泛函

有弗雷歇导数F′(u)，此时

因此，F的临界点为泊松方程狄利克雷问题

的弱解.更一般地，设f(x，u)∈C^0，1(Ω×R)且满足条件

其中r≥1， 当n≥3时r≤(n+2)/(n-2)，

F(x，u)=∫^u₀f(x，t)dt，

则X=W^1，2₀(Ω)上的泛函

I(u)=dx

有弗雷歇导数，且

I′(u)φ=dx (ᗄφ∈X).

因此，泛函I的临界点是非线性椭圆型方程边值问题

的弱解.以上例子说明，许多椭圆型方程边值问题弱解的存在问题可以化成相应泛函临界点的存在问题.